Fysik

differentialligning

17. februar 2019 af Yipikaye - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Er der nogen som kan vise mig hvordan man finder den totale løsning til følgende anden ordens differentialligning? Den totale løsning er vistnok den homogene løsning plus den partikulære løsning. Derudover så kunne jeg godt tænke mig at se et udtryk for vinkelfrekvensen?

$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_{0}*sin(\omega t)$

m: er massen af systemet

c: er den dynamiske viskositet

k: er fjederkonstanten

Omega: er vinkelfrekvensen

t: er tiden

Såfremt der mangler noget information for at kunne regne opgaven skriv endelig da tilbage. Det kunne måske være en kort beskrivelse af systemet og/eller nogle udtryk eller tal for diverse konstanter.

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. februar 2019 af janhaa

løs Yh først:

$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$

deretter:

Yp:

$Y_p=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. februar 2019 af janhaa

$Y=Y_h+Y_p$

Svar #3
17. februar 2019 af Yipikaye

Ok. Det vil jeg prøve. Men først skal jeg lige være sikker på 2 ting. Det ene er om hvorvidt $F_{0}*sin(\omega t)$ er lig med $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx$ i forhold til mit system. Systemet består af en fjedder og en masse, som hænger lodret ned fra loftet. Der indgår således ikke en mekanisk dæmper i systemet, men blot dæmpning fra luft.

Det andet er den dynamiske viskositet. Jeg ved ikke helt hvordan denne er defineret? Jeg har fundet en række forskellige formler for denne og er derfor i tvivl.

Gennem nogle videnskabelige artikler har jeg fundet følgende formel for den dynamiske viskositet.

$\mu =\frac{F_{d}}{3\pi Vd_{n}K_{n}}$

hvor Fd er gnidningskraften

hvor V er hastigheden

hvor dn er diameteren af en kugle vis overflade svare til arealet af objektets todimensionelle projektion i bevægelses retningen.

hvor Kn er den dynamiske formfaktor

$K_{n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}*\frac{d_{s}}{d_{n}}$

hvor ds er diameteren af en kugle vis overflade svare til objektets overflade.

Derudover har jeg fundet en anden formel for den dynamiske viskositet på nettet.

$\zeta =\frac{\lambda }{2*sqrt(km)}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
17. februar 2019 af Eksperimentalfysikeren

Størrelsen c i differentialligningen er ikke den dynamiske viskositet. Den er

$c=\frac{F_{d}}{V}$

Den homogene differentialligning løser du ved at opskrive karakterligningen m*z²+c*z+k = 0 og finde dens løsninger, r₁ og r₂.

Løsningen kan da skrives som A*exp(r₁*t) + B*exp(r₂*t).

En løsning til den inhomogene ligning har formen C*exp(iωt), hvor C er et komplekst tal.

ω kan ikke udtrykkes ved de øvrige værdier i ligningen. Den er bestemt af den ydre oscillerende kraft.

Svar #5
17. februar 2019 af Yipikaye

1)Jeg skal bare lige være med. Hvis størrelsen c ikke er den dynamiske viskositet, hvad er den så? Og hvordan skal den så udtrykkes?

2)Og passer det at $F_{0}*sin(\omega t)$ er lig med $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx$ hvis altså bare der er tale om en fjedder med en masse som hænger ned fra loftet?

3)Hvis $\omega$ ikke kan udtrykkes ved de øvrige værdier i ligningen, hvad er så bestemmende for $\omega$ under de givne forhold?

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. februar 2019 af Eksperimentalfysikeren

Jeg vil starte med 3).

Højresiden beskriver, at der er noget, der påvirker systemet udefra. Det kan f.eks. være, at ophænget trækkes lidt op og sænkes igen ved hjælp af en motor. Det er så motorens hastighed, der bestemmer ω.

2) Hvis der bare er tale om en masse, der er ophængt i en fjeder, er F₀=0. Der skal et eller andet ekstra til, for at højresiden er forskellig fra 0.

1) c er, som jeg skrev F_d/V. Du kan omskrive den ligning, du har med μ=..., så du isolerer F_d/V. Hvis du kender de øvrige størrelser, kan du finde den aktuelle værdi af c.

Skriv et svar til: differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.