Bestem en stamfunktion en brøk. - Matematik

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. februar 2019 af mathon

$\small \begin{array}{rcl} f(x)&=&\frac{9}{4}x\\\\ F(x)&=&\frac{9}{8}x^2+k \end{array}$

Svar #2
19. februar 2019 af Kraes4

Men hvorfor?
Har aldrig haft om integraler før, og kan ikke finde nogle regneregler, så hvordan skal jeg kunne finde det svar? :D

ligeesom jeg sidder med:
Find stamfunktion til f(x) = 0,3x + 2,8

Så skal jeg finde den funktion der når den differentieres ville være vores oprindelig funktion, er det ikke korrekt? så jeg skal nærmest regne baglæns fra differention?

Umiddelbart vil jeg sige at integralet til den her er x^1/3 + 2,8x så?

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. februar 2019 af mathon

$\small \begin{array}{rcl} f(x)&=& 0.30x+2.8\\\\ F(x)&=&0.15x^2+2.8x+k \end{array}$

Svar #4
19. februar 2019 af Kraes4

Men hvordan?

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. februar 2019 af mathon

detaljer:
$\small \int cx^n\mathrm{d}x=\frac{c}{n+1}x^{n+1}+k\qquad c,n\in\mathbb{R}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. februar 2019 af mathon

$\small \small \begin{array}{rclclcl} f(x)&=& 0.30\cdot x^1+2.8\cdot x^0\\\\ F(x)&=&\frac{0.30}{1+1}\cdot x^{1+1}+\frac{2.8}{0+1}\cdot x^{0+1}+k \end{array}$

Svar #7
19. februar 2019 af Kraes4

arg oay, så 0,30/2*x^2 bliver til 0,15x^2 ?

Men hvad så med den til 9/4x? Hvad er regnereglerne for den ? synes ikke jeg kan finde nogle til brøker.

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. februar 2019 af mathon

samme regel:

$\small \small \begin{array}{rcl} f(x)&=&\frac{9}{4}\cdot x^1\\\\ F(x)&=&\frac{\frac{9}{4}}{1+1}\cdot x^{1+1}+k \end{array}$

Svar #9
19. februar 2019 af Kraes4

Okay, tak - jeg vil prøve at kigge på det.

Men hvad er det jeg har misset siden jeg synes det er mærkeligt at når en brøk bliver divideret så fordobles nævneren, og der sker intet med tælleren?

Brugbart svar (0)

Svar #10
19. februar 2019 af mathon

En brøk divideres med et tal ved at multiplicere nævneren med tallet.

Du har derfor ikke 'misset' noget.

ex.
$\small \frac{3}{8}\textup{ er det halve af }\frac{3}{4}$
dvs
$\small \frac{3}{4}:2=\frac{3}{4\cdot 2}=\frac{3}{8}$

Svar #11
19. februar 2019 af Kraes4

Selvfølgelig, tak for hjælpen!!
Ved du hvorhenne jeg kan finde de her regneregler? har fundet en liste, men synes ikke der var lige præcis den med bræker som vi brugte her.

Svar #12
19. februar 2019 af Kraes4

Jeg må sige jeg forstår det stadig ikke. Og når jeg prøver at finde stamfunktionen med WordMat får jeg en syntaksfejl, og i TI-nspire får jeg nogle helt vildt lange ligninger.

Er der en der kan hjælpe?

På billedet har jeg vedhæftet opgaven, og så kan i se svaret som nspire giver mig?
Men når jeg så prøver at differentiere integralet, så giver den mig et anderledes svar end udgangspunktet?

Men er med på at jeg i opgaven skal finde stamfunktionen, men hvordan gør jeg det ?

Vedhæftet fil:integral.png

Brugbart svar (0)

Svar #13
19. februar 2019 af Eksperimentalfysikeren

De tre regneregler, du har haft brug for er kommer direkte fra reglerne for differentiation.

Man differentierer en sum ved at differentiere hvert led for sig. Dette fører direkte med sig, at man integrerer en sum ved at integrere hvert led for sig.

Man differentierer en konstant gange en funktion ved at differentiere funktionen og gange med konstanten: (af(x))' = a(f'(x)). På samme måde kan man sætte konstanten udenfor integralet. I dit første eksempel er der ikke tale om at integrere en brøk, men at 9/4 er en konstant, så (9/4)x skal integreres ved at x integreres og så ganges med 9/4.

Man differentierer en potens ved at reducere eksponenten med 1 og gange med den oprindelige potens: (xⁿ)' = n*x^n-1. Skal man finde stamfunktionen til x^m, skal man selvfølgelig have noget med x^m+1. Differentierer man x^m+1 får man (m+1)x^m, men man skal jo kun have x^m, så man er nødt til at dividere med (m+1): stamfunktionen til x^m er altså x^m+1/(m+1). I dit tilfælde: stamfunktionen til x er stamfunktionen til x¹, dvs x²/2.

Svar #14
19. februar 2019 af Kraes4

okay, det giver meget god mening - har kigget lidt forkert på dem så.

Men hvad så i det tilfælde på billedet, hvor man skal finde en stamfunktion til 1 over kvadratrod af x + 3?

der ville jeg sige at stamfunktionene måtte være:

1 over 2/3x^2/3 + k

3 tallet bliver til min konstant, korrekt? og kvadratrod af x har stamfunktionen som skrevet? vil 1 tallet ændre sig? eller vil det ende med log(2/3x^2/3)+ k

Brugbart svar (0)

Svar #15
19. februar 2019 af mathon

$\small \small \begin{array}{rcl} f(x)&=&\frac{1}{\sqrt{x+3}}\\\\ F(x)&=&2\sqrt{x+3}+k \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #16
19. februar 2019 af mathon

detaljer:
sæt $\small u=x+3\quad\textup{og dermed}\quad\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$

$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! F(x)=\int \frac{1}{\sqrt{x+3}}\, \mathrm{d}x=2\cdot \int \frac{1}{2\sqrt{x+3}}\, \mathrm{d}x=2\cdot \int \frac{1}{2\sqrt{u}}\, \mathrm{d}u=2\cdot \sqrt{u}+k=2\cdot \sqrt{x+3}+k$

...

da
$\small \left (\sqrt{u} \right ){\, }'=\frac{1}{2\sqrt{u}}$

er
$\small \sqrt{u} =\int \frac{1}{2\sqrt{u}}\, \mathrm{d}u$
og dermed

$\small \small 2\sqrt{u} =\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, \mathrm{d}u$

Brugbart svar (0)

Svar #17
19. februar 2019 af Eksperimentalfysikeren

Det, du skal gøre her er lidt mere kompliceret. Du skal først forskyde funktionen ved at indføre u=x+3, så funktionen bliver 1 divideret med kvadratroden af u. Så omskriver du det potens af u: u^-½. Stamfuktionen finder du som for andre potensfunktioner ved at lægge 1 til eksponenten (det giver +½) og dividere med den, så stamfunktionen er (1/½)u^½=2u^½ = 3√(u). Så vender du tilbage tilx ved at erstatte u med x+3 og får resultatet i #15.

Svar #18
19. februar 2019 af Kraes4

Okay, tak - det giver mening! skal bare lige have de her regler og tankegangen ind under huden så skal det nok komme.

?Men hvordan finder jeg den stamfunktion der passer med tangenten?
Tænker det er noget med at udnytte hældningen i tangeten og den sammenhæng der er med en differentiering og det ubestemte integrale?
sætter man de udtryk lig hinanden for at løse med hensyn til x0, og indsætter derefter x0 i stamfunktionen, eller?

Brugbart svar (0)

Svar #19
19. februar 2019 af AMelev

#0 Din profil hænger ikke sammen med hf og A-niveau. Hvad er det rigtige? B-niveau eller A-niveau (stx)?
Her er et link til den officielle formelsamling til Hf B-niveau samt til Stx A-niveau.

Du skal ikke finde stamfunktion til en brøk ved ∫3/4x dx. 3/4 er et tal k, så du skal finde stamfunktion til k·x.

#12 I filen har du skrevet noget andet i TI-Nspire end det, du angiver i teksten. Er tæller 1 eller x?
Wordmat giver samme resultat som TI - har du måske glemt dx?
Bem. Såvel TI som Wordmat angiver kun den ene stamfunktion, du skal selv tilføje en konstant (+ c) for at få alle stamfunktioner.

#18 Din formulering er for upræcis. Læg den konkrete opgave op.

Svar #20
19. februar 2019 af Kraes4

Det er A-niveau stx, har bare glemt at opdatere den.

Nå, tælleren er x - kom til at skrive forkert.

Kan det virkelig være rigtigt at løsningen bliver så lang som TI giver mig på billedet i #12?
Jeg hentyder til den opgave der i billedet på #12.