Matematik

vendetangenter og graffens krumning udregning

25. februar 2019 af matmonk - Niveau: B-niveau

jeg har en opgave hvor jeg skal bestemme røringspunkt for vendetangent og dens ligning for følgende funktioner.

$f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} + x$

jeg udregner ligningen således:

$f '(x) = x^{2} + 2x + 1$

$f''(x) = 2x + 2$

jeg finder røringspunktet hvor f''(x) = 0.

$2x + 2 = 0$

$2x = -2$

$x = -1$

røringspunktet for vendetangenten er ((-1),f(-1)) og siden f''(x) < 0 kan vi sige at f' er aftagende i det pågældene område, hvilket medfører at f er konkav i området.

ligningen for vendetangenten udregner jeg således:

$y = f'(-1)*(x- (-1)) + f(-1)$

$f'(-1) = (-1)^{2} + 2*(-1) + (-1)$

$1 - 2 - 1$

$1 - 2 - 1 f'(-1) = 0$

jeg forstår overhovedet ikke hvordan f'(x) kan give 0, da det jo ville betyde at jeg på dette punkt har en tangent som er parallel med x-aksen, giver det mening for jer? eller er det mig som roder f'(x) og f''(x) sammen, og kan det sagtens gå at ligningen for en vendetangent har en a-værdi eller en "vækstværdi" af 0?

anyways her er resten af min udregning

$f(-1) = \frac{1}{3} * (-1)^{3} + (-1)^{2} + (-1)$

$(-\frac{1}{3}) + 1 - 1 = (-\frac{1}{3})$

$y = 0 * (x - (-1)) - \frac{1}{3} = (-\frac{1}{3})$

ligningen for vendetangenten med røringspunkt ((-1),(-1/3)) :

$y = -\frac{1}{3}$

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. februar 2019 af mathon

grafkrumning κ som en funktion af x:

$\small \kappa (x)=\frac{\left | f{\, }''(x) \right |}{\left [1 +\left ( f{\, }'(x) \right )^2 \right ]^{\frac{3}{2}}}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
25. februar 2019 af mathon

...vendetangenten er netop:
$\small y=-\frac{1}{3}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. februar 2019 af ringstedLC

#0: "og siden f''(x) < 0 kan vi sige at f' er aftagende i det pågældene område, hvilket medfører at f er konkav i området.", I hvilket "område"?

"jeg forstår overhovedet ikke hvordan f'(x) kan give 0, da det jo ville betyde at jeg på dette punkt har en tangent som er parallel med x-aksen, giver det mening for jer?"

Glem lige alt om vendetangent og den 2. afledede og tænk på en typisk monotoniundersøgelse. Man bestemmer f '(x) og dens nulpunkt(er) som sættes ind i f(x) for at beregne ekstremum (ma). Og så indsætter man en mindre- og en større x-værdi i f '(x) for at bestemme om f er voksende eller aftagende før og efter ekstremum eller rettere; om det er et ekstremum. For hvis funktionen er voksende både før og efter roden af f '(x), er det ikke et ekstremum, men et punkt hvori den har en vendetangent som selvfølgelig har en hældning på nul. Når f '(x) er lig nul er tangentens hældning altid nul.

Når det oplyses, at der er en vendetangent:

$\begin{align*} f(x) &= ... \\ f'(x) &= ... \\ f''(x) &= ... =0 \\ Vendetangent: \\ y &= f(f''(x)=0)=... \\ R\o ringspunkt: \\ (x,y) &= \left(f''(x)=0,\;f(f''(x)=0)\right) \end{align*}$

Svar #4
26. februar 2019 af matmonk

#3
#0: "og siden f''(x) < 0 kan vi sige at f' er aftagende i det pågældene område, hvilket medfører at f er konkav i området.", I hvilket "område"?

"jeg forstår overhovedet ikke hvordan f'(x) kan give 0, da det jo ville betyde at jeg på dette punkt har en tangent som er parallel med x-aksen, giver det mening for jer?"

Glem lige alt om vendetangent og den 2. afledede og tænk på en typisk monotoniundersøgelse. Man bestemmer f '(x) og dens nulpunkt(er) som sættes ind i f(x) for at beregne ekstremum (ma). Og så indsætter man en mindre- og en større x-værdi i f '(x) for at bestemme om f er voksende eller aftagende før og efter ekstremum eller rettere; om det er et ekstremum. For hvis funktionen er voksende både før og efter roden af f '(x), er det ikke et ekstremum, men et punkt hvori den har en vendetangent som selvfølgelig har en hældning på nul. Når f '(x) er lig nul er tangentens hældning altid nul.

Når det oplyses, at der er en vendetangent:

$\begin{align*} f(x) &= ... \\ f'(x) &= ... \\ f''(x) &= ... =0 \\ Vendetangent: \\ y &= f(f''(x)=0)=... \\ R\o ringspunkt: \\ (x,y) &= \left(f''(x)=0,\;f(f''(x)=0)\right) \end{align*}$

Det som jeg ikke forstår er at dette tredjegradspolynomium som jeg har fundet vendetangentens ligning på, kan jeg jo se har en "a"-værdi = 0, eller f'(x) = 0, hvilket jo vil sige at tangenten er parallel med x-aksen i og med den hverken stiger eller falder. jeg troede at det der definerede en vendetangent var at en skære grafen, og hvordan kan den det hvis den er parallel med x-aksen og det er et tredjegradspolynomium

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. februar 2019 af mathon

I det her tilfælde er der tale om vandret vendetangent.

Det, du hele tiden 'fantaserer om', er skrå vendetangent.

Det giver derfor ikke mening for dig, når du forventer skrå vendetangent, når funktionen vitterlig kun har vandret vendetangent.

Din fremtidige tro må justeres til at indkalkulere vandret vendtetangent.

Skriv et svar til: vendetangenter og graffens krumning udregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.