Matematik

Full Rank

05. marts 2019 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg har en opgave, som jeg kan ikke komme videre med.

Opgaven er på engelsk, og det vedhæfter jeg som et billede.

Som I kan se i (a), man skal bevise J har full column rank HVISS J^T J er nonsingular.
Forvirring kommer, da $J \in \mathbb{R}^{m \times n}$ og $rank(J) = \min(m,n)$ ,

mens $m \geq n$ .
Jeg prøver at vise full column rank J ?ved $J \ y =0 \ \rightarrow y =0$

Med (b) har ingen ide:

Vil nogen hjælpe med at forstå opgaven?
På forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgaven.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. marts 2019 af oppenede

Hvis J ikke har full rang, så findes et y ≠ 0, så Jy = 0. Dvs. J^TJ ikke er invertibel, da J^TJy = J^T0 = 0 Λ y ≠ 0.
Hvis J^TJ ikke er invertibel, så findes et y ≠ 0, så J^TJy = 0. Gang med y^T fra venstre: y^TJ^TJy = 0.
Venstresiden kan omskrives y^TJ^TJy = (Jy)^TJy = ||Jy||² = 0, dvs. Jy = 0 Λ y ≠ 0, hvorfor J ikke har fuld rang.

J^TJ er positivt definit hvis og kun hvis y^TJ^TJy > 0 når y ≠ 0, som er det samme som at ||Jy||² > 0, når y ≠ 0.
Hvis J har fuld rang, så er ||Jy||² > 0 for alle y ≠ 0, dvs. J^TJ er positivt definit.
Hvis J ikke har fuld rang, så er ||Jy||² = 0 for et y ≠ 0, dvs. J^TJ er ikke positivt definit.

Svar #2
07. marts 2019 af Rossa

Hvis J har full rang, og hvis Jy = 0, så må y =0, og det burde betyde, at J^T J er invertible.

Hvis J^TJ er invertible, og y !=0, så ||J y||² > 0 hvilket betyder J har full rang?

Brugbart svar (1)

Svar #3
08. marts 2019 af oppenede

#2 Nej og nej.

Hvis J^TJ er invertibel, så har J fuld rang, thi hvis J ikke har full rang, så findes
et y ≠ 0, så Jy = 0 og dermed J^TJy = 0 Λ y ≠ 0 i modstrid med at J^TJ er invertibel.

Hvis J har fuld rang, så er J^TJ invertibel, thi hvis J^TJ ikke er invertibel, så findes
et y ≠ 0, så J^TJy = 0 ⇒ ||Jy||² = 0 ⇒ Jy = 0 Λ y ≠ 0 i modstrid med at J har fuld rang.

Skriv et svar til: Full Rank

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.