Matematik

optimering

02. april 2019 af Lei20 (Slettet) - Niveau: B-niveau

Der skal bygges en kasse med kvadratisk bund og uden låg med et rumfang på 1200 cm3. Bestem kassens dimensioner hvis der skal anvendes mindst mulig materiale.

Hvad skal jeg gøre? 


Brugbart svar (0)

Svar #1
02. april 2019 af mathon

    Bestem ud fra rumfangsformlen et udtryk for h.

    Indsæt dette i formlen for kassen overflade
    og få overfladen udtrykt ved x; som er kassens side i brundfladen.

    Differentier O(x) og bestem overflademinimum
    ud fra:
                   O{\;}'(x)=0


Svar #2
02. april 2019 af Lei20 (Slettet)

Jeg får 0 uanset hvad jeg gør. Kan du forklare det med formel?


Svar #3
02. april 2019 af Lei20 (Slettet)

l·h·l=l^2·h=1200 cm^3

h= (1200) / (l^2)

Når jeg indsætter det i l^2 + 4(h * l) og differentierer får jeg 0. Hvad gør jeg forkert, jeg er forvirret. 


Brugbart svar (0)

Svar #4
02. april 2019 af mathon

Volumen:
                       \small h\cdot x^2=1200

                       \small h\cdot x=\frac{1200}{x}

Overflade:
                       \small O=x^2+4\cdot h\cdot x

                       \small O(x)=x^2+4\cdot \frac{1200}{x}=x^2+\frac{4800}{x}

                       \small O{\, }'(x)=2x- \frac{4800}{x^2}


Brugbart svar (0)

Svar #5
02. april 2019 af mathon

mindst muligt materialeforbrug
kræver bl.a.
                               \small \small O{\, }'(x)=2x- \tfrac{4800}{x^2}=0

                                               \small x- \tfrac{2400}{x^2}=0

                                               \small x^3- 2400=0

                                               \small x^3= 2400

                                               \small \small x= 2400^{\frac{1}{3}}=13.39\; (\textup{cm})


Svar #6
02. april 2019 af Lei20 (Slettet)

Mange tak mathon :-). Det giver meget bedre mening nu. Kan det passe, at h = 1200/x = 1200 / 13,4 = 89,6 cm  ?

Skal man overhoved finde h eller er det nok, at man har fundet x?


Brugbart svar (0)

Svar #7
02. april 2019 af mathon

        \small h=\frac{1200}{x^2}=\frac{1200}{13.39^2}=6.69\; (\textup{cm})


Svar #8
02. april 2019 af Lei20 (Slettet)

Tusind tak, mathon. Kan du også hjælpe mig med denne her? Jeg er meget forvirret :-(

En kasse foldes af et stykke pap, hvor der er skåret et kvadratisk stykke af hvert hjørne.
Bestem værdien af x, så kassen får det størst mulige rumfang. De to sider er 20 cm og de to andre sider er 30 cm.


Brugbart svar (0)

Svar #9
02. april 2019 af mathon

Kassens volumen
                                  \small V(x)=x\cdot \left ( 30-2x \right )\cdot (20-2x)\qquad 0<x<10

                                  \small \small V(x)=4x^3-100x^2+600x


Svar #10
02. april 2019 af Lei20 (Slettet)

Hvorfor er det 2x?


Brugbart svar (0)

Svar #11
02. april 2019 af mathon

   ...der skæres x bort i begge ender (Tegn det og forstå)


Svar #12
02. april 2019 af Lei20 (Slettet)

Jeg får to svar x=3,92 og x=12,74

Sidstnævnte er det som x skal være så kassen får det størst mulige rumfang?


Brugbart svar (0)

Svar #13
02. april 2019 af oppenede

En kasse foldes af et stykke pap, hvor der er skåret et kvadratisk stykke x af hvert hjørne. De to sider er 20 cm.

Hvis du fjerner 12.74 fra begge ender langs den side der er 20 cm, så for du en sidelængde som er mindre end 0, og derfor er x=12.74 ugyldig.


Brugbart svar (0)

Svar #14
03. april 2019 af mathon

                   \small \small \small \small \begin{array}{llllll} \small V(x)=x\cdot \left ( 30-2x \right )\cdot (20-2x)\qquad {\color{Red} \mathbf{ 0<x<10}}\\\\ \small V(x)=4x^3-100x^2+600x\\\\ V{\, }'(x)=12x^2-200x+600\\\\ V{\, }'(x)=0\\\\ x=\left\{\begin{array}{lll} \frac{25-5\sqrt{7}}{3}\approx 3.92\\ \frac{25+5\sqrt{7}}{3}\approx 12.74&\textup{som m\aa \ forkastes, da }0<x<10 \end{array}\right. \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #15
03. april 2019 af AMelev

Ad #14 Det er ikke helt nok at finde nulpunkter for V'. Du skal også dokumentere, at dette nulpunkt er maxsted for V.


Brugbart svar (0)

Svar #16
03. april 2019 af mathon

               \small V{\, }'(x)=12\left ( x-3.92 \right )\left ( x-12.74 \right )

\textup{fortegnsvariation}
\textup{for }V{\, }'(x)\textup{:}                          +        0          -                           
x\textup{-variation:}             0________3.92_______10(------------------12.74)
\textup{ekstrema:}                            \textup{glo. max}


Skriv et svar til: optimering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.