Matematik

Linje gennem cirkel

12. april 2019 af leonb - Niveau: B-niveau

Hey er der nogen, der kan hjælpe med denne opgave?

I et koordinatsystem er cirklen C bestemt ved ligningen:

(x-3)2 + (y-4)= 9

og linjen l bestemt ved lingningen

2x+2y-4=0

Linjen m går gennem centrum for C og står vinkelret på l

a) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem m og C

b) Bestem afstanden fra l til det punkt på C, der er tættest på l


Brugbart svar (1)

Svar #1
12. april 2019 af peter lind

a) Brug at normalvektoren er retninsvektor for linjen. Du ændrer på retningsvektorens længde så længden er lig radius i ciklen. De to punkter kan så bestemes af CP er lig ± denne  vektor.

b) Brug afstadsformlen for en linje til et punkt


Brugbart svar (1)

Svar #2
12. april 2019 af oppenede

b) Hvis linjen l har en skæring med cirklen, så er afstanden 0.
Hvis der ikke er en skæring, så er find afstanden mellem centrum of linjen, og træk radius fra.


Brugbart svar (0)

Svar #3
13. april 2019 af mathon

a)
          \small l\textup{'s normalvektor }\vec{n}=\bigl(\begin{smallmatrix} 2\\2 \end{smallmatrix}\bigr)\textup{ er retningsvektor for }m.
          \small \textup{Sk\ae ringspunkterne }S_1\textup{ og }S_2\textup{ kan derfor findes}
          \small \textup{af:}
                          \small \overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OC}\pm r\cdot \tfrac{\bigl(\begin{smallmatrix} 2\\2 \end{smallmatrix}\bigr)}{\sqrt{2^2+2^2 }}

                          \small \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}\pm \frac{3}{2\sqrt{2}}\cdot \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}

                           \small S_1=\left ( \tfrac{3+3\sqrt{2}}{2}, \tfrac{4+3\sqrt{2}}{2}\right )\qquad\textup{og}\qquad S_2=\left ( \tfrac{3-3\sqrt{2}}{2},\tfrac{4-3\sqrt{2}}{2} \right )


Brugbart svar (0)

Svar #4
13. april 2019 af mathon

b)
      \small \textup{da centrums afstand til }l\textup{ er:}

                         \small dist(l,c(3,4))=\frac{\left | 2\cdot 3+2\cdot 4-4 \right |}{\sqrt{2^2+2^2}}=\frac{10}{2\cdot \sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}=3.53>r=3

    


Brugbart svar (0)

Svar #5
13. april 2019 af ringstedLC

#3: Ups!

\begin{align*} \overrightarrow{OS} &= \overrightarrow{OC}\pm r\cdot \frac{\binom{2}{2}}{\sqrt{2^2+2^2}} \\ \overrightarrow{OS} &= \overrightarrow{OC}\pm 3\cdot \frac{1}{\sqrt{2^2+2^2}}\cdot {\binom{2}{2}} \\ \binom{x}{y} &= \binom{3}{4}\pm \frac{3}{2\sqrt{2}}\cdot \binom{2}{2} \\ \binom{x}{y} &= \binom{3}{4}\pm \binom{\frac{3}{\sqrt{2}}}{\frac{3}{\sqrt{2}}} \\ S_1=\left (3+\tfrac{3}{\sqrt{2}}\: ,\: 4+\tfrac{3}{\sqrt{2}} \right ) &\;,\;S_2=\left (3-\tfrac{3}{\sqrt{2}}\: ,\: 4-\tfrac{3}{\sqrt{2}} \right ) \\ S_1=\left (\tfrac{3\sqrt{2}+3}{\sqrt{2}}\: ,\: \tfrac{4\sqrt{2}+3}{\sqrt{2}} \right ) &\;,\;S_2=\left (\tfrac{3\sqrt{2}-3}{\sqrt{2}}\: ,\: \tfrac{4\sqrt{2}-3}{\sqrt{2}} \right ) \\ S_1=\left (\tfrac{6+3\sqrt{2}}{2}\: ,\: \tfrac{8+3\sqrt{2}}{2} \right ) &\;,\;S_2=\left (\tfrac{6-3\sqrt{2}}{2}\: ,\: \tfrac{8-3\sqrt{2}}{2} \right ) \\ S_1=\left (5.12\: ,\: 6.12 \right ) &\;,\;S_2=\left (0.88\: ,\: 1.88 \right ) \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #6
13. april 2019 af mathon

korrektion som påpeget i #5:

a)
          \small l\textup{'s normalvektor }\vec{n}=\bigl(\begin{smallmatrix} 2\\2 \end{smallmatrix}\bigr)\textup{ er retningsvektor for }m.
          \small \textup{Sk\ae ringspunkterne }S_1\textup{ og }S_2\textup{ kan derfor findes}
          \small \textup{af:}
                          \small \overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OC}\pm r\cdot \tfrac{\bigl(\begin{smallmatrix} 2\\2 \end{smallmatrix}\bigr)}{\sqrt{2^2+2^2 }}

                          \small \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}\pm \frac{3}{2\sqrt{2}}\cdot \begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}

                           \small \small S_1=\left ( \tfrac{6+3\sqrt{2}}{2}, \tfrac{8+3\sqrt{2}}{2}\right )\qquad\textup{og}\qquad S_2=\left ( \tfrac{6-3\sqrt{2}}{2},\tfrac{8-3\sqrt{2}}{2} \right )


Skriv et svar til: Linje gennem cirkel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.