Matematik

Faktorisering og nulregel af tredjegradspolynomium

15. juli kl. 16:59 af Warrocs - Niveau: B-niveau

Hej, jeg står med en funktion, hvor jeg skal faktorisere den.

Faktorisering af: 
f(x) =2x^3+2x^2-x

Jeg synes absolut ikke jeg kan finde noget om faktorisering af tredjegradsfunktioner, men jeg kan forstå udfra andengradsfunktioner, at man skal finde rødderne ved hjælp af nulreglen, eller diskriminanten, også skulle det på en eller anden måde hjælpe en med at faktorisere det, men jeg ved ikke hvordan jeg skal:

- Bruge nulreglen til at finde nulpunkterne når der er 2 potenser i funktionen.
- Bruge rødderne til at faktorisér

Er der nogen der kan forklare det som om jeg er 5 år, eller komme med et eksempel som jeg kan bruge?
 


Brugbart svar (0)

Svar #1
15. juli kl. 17:06 af oppenede

Hej, jeg står med en funktion, hvor jeg skal faktorisere den.

hvor relaterer til et sted, men det er ikke stedet der skal faktoriseres.
Som eller hvilken kan bruges relativt til 'en funktion'.

Alle led har x som faktor, hvilken kan sættes uden for parentes:
  2x^3+2x^2-x=x\cdot(2x^2+2x-1)

hvis rødder følger af nulreglen, som siger at der skal gælde enten x = 0 eller 2x2 + 2x - 1 = 0.


Svar #2
15. juli kl. 17:17 af Warrocs

Jeg forstår ikke hvad du mener, hvis jeg løser det med nSpire får jeg:

x*(x+1)*(2*x-1)

Jeg leder efter mellemregningerne der får det til at give det resultat, så jeg ved hvordan det kan lade sig gøre


Brugbart svar (1)

Svar #3
15. juli kl. 17:46 af OliverHviid

Man har f(x)=2x³+2x²-x. Hvis x sættes udenfor fås

f(x)=x(2x²+2x-1). Her benyttes nulreglen, og man får x=0 v 2x²+2x-1=0. 2x²+2x-1=0 er en normal 2. gradsligning.


Brugbart svar (0)

Svar #4
15. juli kl. 17:54 af ringstedLC

#2: Vedhæft et billede af din nSpire side.


Svar #5
15. juli kl. 18:06 af Warrocs

#3

f(x)=x(2x²+2x-1). Her benyttes nulreglen, og man får x=0 v 2x²+2x-1=0. 2x²+2x-1=0 er en normal 2. gradsligning.

Jeg forstår ikke helt hvordan jeg løser den, skal jeg bare isolere x ved at dividere med 2 ved både 2x² og 2x, også bagefter med 0, så jeg får 0,5. Dvs. så det kommer til at hedde:
x = 0, x= kvadratrod(0,5) x= minus.kvadratrod(0,5)
??


Svar #6
15. juli kl. 18:07 af Warrocs

Nspire vedhæftet

Vedhæftet fil:Faktorisering.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #7
15. juli kl. 18:09 af OliverHviid

Du skal løse 2. gradsligningen 2x²+2x-1=0, dvs. start med at finde a, b og c. Herefter udregn diskriminanten osv.


Brugbart svar (0)

Svar #8
15. juli kl. 18:15 af ringstedLC

Skriv: solve(2x3 + x2 - xx)


Svar #9
15. juli kl. 18:21 af Warrocs

#7

Du skal løse 2. gradsligningen 2x²+2x-1=0, dvs. start med at finde a, b og c. Herefter udregn diskriminanten osv.

Super det prøver jeg lige, men efter jeg har fundet rødderne, hvordan får jeg dem så faktoriseret, det er egentlig mest det jeg ikke forstår

ringstedLC, solve virker ikke fordi der ikke er nogen ulighed, jeg har vedhæftet et billede

Vedhæftet fil:Faktorisering 2.PNG

Svar #10
15. juli kl. 18:47 af Warrocs

#7

Du skal løse 2. gradsligningen 2x²+2x-1=0, dvs. start med at finde a, b og c. Herefter udregn diskriminanten osv.

Nu har jeg prøvet at finde diskriminanten ved at skrive:
2x²-(4*2*1)=-4 hvilket betyder at der ikke er nogen nulpunkter??
Men hvis jeg taster den i nspire, siger den der er 2 og de to er -1,36 og 0,36. Jeg tastede også andengradsfunktionen ind i geogebra, og den siger også der er de samme to nulpunkter.
Så jeg forstår ikke helt hvorfor det ikke virker når jeg prøver at løse det uden CAS værktøj??


Brugbart svar (1)

Svar #11
15. juli kl. 19:34 af Eksperimentalfysikeren

x indgår ikke i diskriminanten. Den udregnes som d=b2-4ac.


Brugbart svar (1)

Svar #12
15. juli kl. 19:48 af ringstedLC

#9: Undskyld, skriv:

\begin{align*} solve\left ( 2x^3+2x^2-x=0,\;x \right )\rightarrow x &= \left\{ \tfrac{-1\, -\, \sqrt{3}}{2}, 0, \tfrac{-1\, +\, \sqrt{3}}{2} \right\} \\ x &= \left\{ -1.37, 0, 0.37 \right\} \\ \text{eller i "h\aa nden"}: \\ 2x^3+2x^2-x &= 0=x\cdot \left ( 2x^2+2x-1 \right )\Downarrow \\ x=0 &\vee \left ( 2x^2+2x-1 \right )=0 \\ 2x^2+2x-1 &= 0 \;,\;a=2\;,\;b=2\;,\;c=(-1) \\ d=b^2-4ac &= 2^2-4\cdot 2\cdot (-1)=12 \\ x &= \tfrac{-b\pm \sqrt{d}}{2a} \\ &=\tfrac{-2\, \pm \, \sqrt{12}}{2\, \cdot \, 2} =\tfrac{-2\, \pm \, \sqrt{4\,\cdot \,3}}{2\, \cdot \, 2}=\tfrac{-2\, \pm \, 2\sqrt{3}}{2\, \cdot \, 2} =\tfrac{-1\, \pm \, \sqrt{3}}{2} \\ x &= \left\{\tfrac{-1\, -\, \sqrt{3}}{2},\tfrac{-1\, +\, \sqrt{3}}{2}\right\} \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #13
15. juli kl. 20:08 af oppenede

2x3 + 2x2 - x    er et polynomium (af grad 3).

Et polynomium af grad d med d rødder r1, r2, ..., rd kan skrives på formen
  a\underset{d\text{ faktorer}}{\underbrace{(x-r_1)(x-r_2)\ldots(x-r_d)}}
hvor a er koefficienten for xd.

Så aflæs a, og bestem rødderne r1, r2 og r3 af  2x3 + 2x2 - x. Indsæt derefter i den faktoriserede form.

Bemærk TI har ganget a ind i en af den faktoriserede forms parenteser, hvilket du måske bør undlade.


Svar #14
16. juli kl. 01:46 af Warrocs

#13

2x3 + 2x2 - x    er et polynomium (af grad 3).

Et polynomium af grad d med d rødder r1, r2, ..., rd kan skrives på formen
  a\underset{d\text{ faktorer}}{\underbrace{(x-r_1)(x-r_2)\ldots(x-r_d)}}
hvor a er koefficienten for xd.

Så aflæs a, og bestem rødderne r1, r2 og r3 af  2x3 + 2x2 - x. Indsæt derefter i den faktoriserede form.

Bemærk TI har ganget a ind i en af den faktoriserede forms parenteser, hvilket du måske bør undlade.

Men jeg forstår ikke helt hvordan dette foregår i praksis, med rødderne og faktoriseringen. Har rødderne ikke noget at gøre med de nulpunkter jeg lige fandt med diskriminanten. Hvis nej, hvordan får jeg regnet de rødder ud i et tredjegradspolynomium? Jeg er med på at faktorisering skulle foregå som noget indsnævring af en længere funktion, i dét at man kan regne faktorne ud efterfølgende og så kan regne baglæns og få funktionen igen, hvis jeg forstår det rigtigt??

Men jeg ved ikk helt, hvordan det ser ud i praksis, er der nogen af jer som har et eksempel af et tredjegradspolynomium step by step der bliver faktoriseret måske?
 


Brugbart svar (1)

Svar #15
16. juli kl. 14:26 af ringstedLC

Jo, når du har fundet de tre rødder i #12 (vha. nulreglen).

\begin{align*} f(x) &= {\color{Red} 2}x^3+2x^2-x \Rightarrow x=\left\{0,\, \tfrac{-1\, -\, \sqrt{3}}{2},\tfrac{-1\, +\, \sqrt{3}}{2}\right\} \\ &= {\color{Red} 2}\cdot \Bigl(x-0\Bigr)\cdot \left(x-\Bigl (\tfrac{-1\,-\,\sqrt{3}}{2}\Bigr)\right) \cdot\left(x-\Bigl(\tfrac{-1\,+\,\sqrt{3}}{2}\Bigr)\right) \\ &= {\color{Red} 2}x\cdot \left(x+\tfrac{1\,+\,\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(x+\tfrac{1\,-\,\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= {\color{Red} 2}x\cdot \left(x+\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(x+\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= {\color{Red} 2}x \cdot \left(x^2+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{\sqrt{3}}{2}x +\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4}-\tfrac{\sqrt{3}}{4} +\tfrac{\sqrt{3}}{2}x+\tfrac{\sqrt{3}}{4}-\tfrac{3}{4}\right) \\ &= {\color{Red} 2}x \cdot \left(x^2+x-\tfrac{1}{2}\right) \\ &= {\color{Red} 2}x^3+2x^2-x \end{align*}

\begin{align*} \text{Generelt}: 0 &= s\cdot t \Leftrightarrow s=0\vee t=0\text{ \: \: (nulreglen)} \\ ax^3+bx^2+cx=0 &= \overset{s}{\overbrace{\left (x \right )}} \cdot \overset{t}{\overbrace{\left (ax^2+bx+c\right )}} \Leftrightarrow x=0\vee ax^2+bx+c=0 \\ ax^2+bx+c &= 0 \\ x &=\left\{\tfrac{-b\, +\, \sqrt{d}}{2a}\,,\tfrac{-b\, -\, \sqrt{d}}{2a}\right\} \;,\;d=b^2-4ac \\ ax^3+bx^2+cx &=0 \Leftrightarrow x=\left\{\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}\, ,0\,,\frac{-b - \sqrt{d}}{2a}\right\} \end{align*}

Metoden er ikke anvendelig til et standard 3. gradspolynomium på formen:

\begin{align*} f(x) &= ax^3+bx^2+cx+k= \left (x \right ) \cdot \left (ax^2+bx+c+\frac{k}{{\color{Red} x}}\right )\;,\;x\neq0 \end{align*}

Se mere: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/andengradspolynomium-og-ligning/faktorisering-og-nulreglen


Svar #16
17. juli kl. 13:48 af Warrocs

#15

Jo, når du har fundet de tre rødder i #12 (vha. nulreglen).

\begin{align*} f(x) &= {\color{Red} 2}x^3+2x^2-x \Rightarrow x=\left\{0,\, \tfrac{-1\, -\, \sqrt{3}}{2},\tfrac{-1\, +\, \sqrt{3}}{2}\right\} \\ &= {\color{Red} 2}\cdot \Bigl(x-0\Bigr)\cdot \left(x-\Bigl (\tfrac{-1\,-\,\sqrt{3}}{2}\Bigr)\right) \cdot\left(x-\Bigl(\tfrac{-1\,+\,\sqrt{3}}{2}\Bigr)\right) \\ &= {\color{Red} 2}x\cdot \left(x+\tfrac{1\,+\,\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(x+\tfrac{1\,-\,\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= {\color{Red} 2}x\cdot \left(x+\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(x+\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= {\color{Red} 2}x \cdot \left(x^2+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{\sqrt{3}}{2}x +\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4}-\tfrac{\sqrt{3}}{4} +\tfrac{\sqrt{3}}{2}x+\tfrac{\sqrt{3}}{4}-\tfrac{3}{4}\right) \\ &= {\color{Red} 2}x \cdot \left(x^2+x-\tfrac{1}{2}\right) \\ &= {\color{Red} 2}x^3+2x^2-x \end{align*}

\begin{align*} \text{Generelt}: 0 &= s\cdot t \Leftrightarrow s=0\vee t=0\text{ \: \: (nulreglen)} \\ ax^3+bx^2+cx=0 &= \overset{s}{\overbrace{\left (x \right )}} \cdot \overset{t}{\overbrace{\left (ax^2+bx+c\right )}} \Leftrightarrow x=0\vee ax^2+bx+c=0 \\ ax^2+bx+c &= 0 \\ x &=\left\{\tfrac{-b\, +\, \sqrt{d}}{2a}\,,\tfrac{-b\, -\, \sqrt{d}}{2a}\right\} \;,\;d=b^2-4ac \\ ax^3+bx^2+cx &=0 \Leftrightarrow x=\left\{\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}\, ,0\,,\frac{-b - \sqrt{d}}{2a}\right\} \end{align*}

Metoden er ikke anvendelig til et standard 3. gradspolynomium på formen:

\begin{align*} f(x) &= ax^3+bx^2+cx+k= \left (x \right ) \cdot \left (ax^2+bx+c+\frac{k}{{\color{Red} x}}\right )\;,\;x\neq0 \end{align*}

Se mere: https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/andengradspolynomium-og-ligning/faktorisering-og-nulreglen

Super svar, men vil den faktoriseret form så kunne skrives som:

f(x)=2x^2+2x-1 =a(x-r1)(x-r2)\Rightarrow 2(x-0,36)(x-1,36)

Fordi nu har jeg jo skrevet de to rødder ind som jeg fandt ved hjælp af diskriminanten.
Er det svaret som man leder efter når de skriver:
Faktoriser f(x)=2x^3+2x^2-x


Brugbart svar (1)

Svar #17
17. juli kl. 14:36 af ringstedLC

Du må lige skelne mellem 2. grads- og 3. gradspolynomiet, som ønskes faktoriseret.

2. gradspol. har to løsninger, 3. gradspol. har de samme og "0", se 2. linje i #15.

3. gradspol. faktoriseres i det første og x, så nulreglen kan bruges til at beregne løsningen, x = 0. Derefter bruges den almindelige 2. gradsløsning til at beregne de eventuelle andre løsninger. Bemærk; her kan du ikke bruge faktorisering og nulregel pga. (-1).

Om du vil aflevere facit i absollute eller numeriske værdier betyder sikkert ikke noget, men din afrunding (..,36) er forkert, se 2. linje i #12.


Skriv et svar til: Faktorisering og nulregel af tredjegradspolynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.