Matematik

Parabel

21. august 2019 af LineaSofie - Niveau: A-niveau

Hej,

Jeg kan simpelthen ikke finde hoved og hale i denne opgave. Jeg har vendt og drejet den, men jeg kan ikke komme frem til noget, der giver mening.

Opgaven er vedhæftet som billede.

- kan jeg få en grundig gennemgang, step-by-step, af hvad du/I gør?

På forhånd, TUSIND tak.

/Linea

Vedhæftet fil: Parabel.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. august 2019 af mathon

Brugbart svar (1)

Svar #2
21. august 2019 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \textup{Toppunkt:}\\ &x_T&=&\frac{-b}{2a}=5\\\\ &y_T&=&c-a\cdot \left (x_T \right )^2&=&-4\\\\ &y_T&=&21-a\cdot 5^2&=&-4\\\\ &21+4&=&25a\\\\ &a&=&1\\ \textup{hvoraf:}\\ &x_T&=&\frac{-b}{2\cdot 1}=5\\\\ &-b&=&10\\\\ &b&=&-10\\\\ &f(x)&=&x^2-10x+21 \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
21. august 2019 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} \textup{Symmetri om toppunktet:}\\ &B&=&(5+2,0)&=&(7,0) \end{array}$

Svar #4
21. august 2019 af LineaSofie

#2 og #3

Hold da op, okay! Tusind tak, det giver meget bedre mening nu.

Jeg kom til at tænke på, uden af være til alt for meget besvær, om man kan løse den via faktoriseringen? Hvis ja, vil du demonstrere?

På forhånd, endnu en gang mange tak!

/Linea

Brugbart svar (1)

Svar #5
21. august 2019 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} \textup{faktorisering:}\\ &f(x)=a\cdot (x-3)\cdot (x-7)\\\\\textup{toppunktskoordinater}\\ \textup{inds\ae ttes:}&a\cdot (5-3)\cdot (5-7)=-4\\\\ &a\cdot 2\cdot (-2)=-4\\\\ &a\cdot (-4)=-4\\\\ &a=1\\ \textup{hvoraf}\\ &f(x)= (x-3)\cdot (x-7)\\\\ &f(x)=x^2-7x-3x+21\\\\ &f(x)=x^2-10x+21 \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
21. august 2019 af ringstedLC

Faktorisering:

$\begin{align*} x_A=r_1=3&\wedge x_B=r_2 \\ \text{R\o dder ligger (ogs\aa) symmetrisk om symmetriaksen}: \\ \text{Symmetriakse}:x &= \;? \Rightarrow r_2=\;? \\ f(x) &= a(x-r_1)(x-r_2) \\ f(5)=-4 &= a(5-r_1)(5-r_2) \\ a &= \;?\\ f(3)=0 &= a\cdot 3^2+b\cdot 3+21 \\ b &=\;? \end{align*}$

Svar #7
21. august 2019 af LineaSofie

Ahhhh, okay! Man kan altså gribe opgaven an på flere måder. Jeg siger mange tak :)

Jeg er ikke helt sikker på, at jeg er med. Vil du uddybe?

Brugbart svar (1)

Svar #8
21. august 2019 af ringstedLC

En parabels symmetriakse er parallel med y-aksen (x = 0) og går gennem toppunktet.

Da A er parablens ene skæringspunkt med x-aksen, er A's x-værdi x_A derfor rod r₁. Tilsvarende gælder for B.

Jeg burde have skrevet:

$\begin{align*} f(5)=-4 &= a(5-{\color{DarkGreen} 3})(5-r_2) \end{align*}$

Når der indsættes og regnes fås selvfølgelig den samme funktion som #5

Brugbart svar (1)

Svar #9
21. august 2019 af ringstedLC

Ved at differentiere:

$\begin{align*}f(x) &= x^2+bx+21 \;,\; a=1\text{ som i \#2 eller \#5} \\ f'(x) &= 2x+b \\ f'(5)=0 &= 2\cdot 5+b \\ b &= -10 \\ f(x) &= x^2-10x+21 \end{align*}$

Svar #10
21. august 2019 af LineaSofie

#8 og #9

Åååååårh, okay - jeg forstår det!! Tusind tak, det tager jeg med mig :)

God aften.

/Linea

Brugbart svar (1)

Svar #11
22. august 2019 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllllll}\textup{eller}\\ \textup{toppunktsformel:}\\ &f(x)&=&a\cdot (x-5)^2-4&\textup{heri inds\ae ttes A's koordinater}\\\\\ &0&=&a\cdot \left (3-5 \right )^2-4\\\\ &0&=&a\cdot 4-4\\\\ &0&=&a-1\\\\ &a&=&1\\\\ &f(x)&=&(x-5)^2-4\\\\ &f(x)&=&x^2-10x+25-4\\\\ &f(x)&=&x^2-10x+21 \end{array}$

Skriv et svar til: Parabel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.