Matematik

Induktionsbevis af d^n/dx^n(lnx)

11. oktober 2019 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Det første jeg gør at jeg beregner de første seks afledede af lnx.

Jeg opstiller så formlen

$\frac{d^{n}}{d x} \ln x=(-1)^{n-1}(n-1) x^{-n}$

Induktionsstart: p(1). Denne er sand da d/dx(lnx) = 1/x. Det ved vi fra differentialregning.

Induktionsantagelsen: p(m),

$\frac{d^{m}}{d^m x} \ln x=(-1)^{m-1}(m-1) x^{-m}$

Induktionsskridtet:

Jeg skal vise implikationen p(m) => p(m+1).

Jeg indsætter m+1 og får:

$-m x^{-1}(-1)^{m-1}(m-1) ! \cdot x^{-m}$

De sidste tre faktorer ligner jo noget fra induktionsantagelsen!

Jeg ved dog ikke hvad jeg skal stille op med -mx^-1.

Jeg bliver nødt til at være afhængige af regler fra differentialregningen for at fuldføre mit bevis.

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. oktober 2019 af LeonhardEuler

Start med induktionsantagelser og differentier.
Den anden vej er besværlig, da du skal indse en stamfunktion.

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. oktober 2019 af AMelev

#0 Der mangler ! i dine to første formler.

$p(m):\: \frac{d^m}{d^m x}ln(x)=(-1)^{m-1}!\cdot (m-1)\cdot x^{-m}$
$p(m+1):\: \frac{d^{m+1}}{d^{m+1} x}ln(x)=(\frac{d^{m}}{d^{m} x}ln(x))'\, \overset{p(m)}{=} \, ((-1)^{m-1} \cdot (m-1)!\cdot x^{-m})'=$
$(-1)^{m-1}\cdot (m-1)!\cdot ( x^{-m})'= (-1)^{m-1}\cdot (m-1)!\cdot (-m)( x^{-m-1})=$
$= (-1)^{m-1}\cdot (m-1)!\cdot (-1)\cdot m\cdot x^{-m-1}= (-1)^{(m+1)-1}\cdot ((m+1)-1)!\cdot x^{-(m+1)}$

- hvis jeg ellers ikke har glemt parenteser eller udråbstegn.

Skriv et svar til: Induktionsbevis af d^n/dx^n(lnx)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.