Matematik

Partial differentiation

29. oktober 2019 af Lapendio - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle!

Jeg har problemer med denne opgave, håber nogen kan give mig en ledetråd hvordan jeg skal gøre, bemærk venligst ikke give mig svaret. Jeg tænker at skulle bruge chain rule men kan ikke få det til at give mening.

Det er a) jeg ikke kan, hvordan får jeg fx løst ∂f/∂x

Vedhæftet fil: partiel differentiation.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. oktober 2019 af mathon

Svar #2
29. oktober 2019 af Lapendio

Kan du hjælpe mig? Jeg tænker umiddelbart jeg skal bruge chain rule for funktionen e^-(x+2y) hvor jeg kan introducere u = x + 2y . Og på samme måde kalde t = 2x +y . vil det være korrekt? Det giver bare ikke mening for mig at have det når chain rule for partial differentiation siger noget andet.

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. oktober 2019 af janhaa

f ' x = exp(-(x+2y)) + x*exp(-(x+2y)) + (2y/(2x+y))

Brugbart svar (1)

Svar #4
29. oktober 2019 af mathon

∂(f(x,y))/∂x = f_x =1·e^-(x+2y)+ x·e^-(x+2y)·(-1)·1 + y·(1/(2x+y))·2 = e^-(x+2y)- x·e^-(x+2y) + (2y/(2x+y)) =

(e^-2y - x·e^-2y)e^-x+(2y/(2x+y)) = (1-x)e^-(x+2y) + (2y/(2x+y))

∂²(f(x,y))/∂x² = f_xx = -(1)·e^-(x+2y) + (1-x)·e^-(x+2y)·(-1) + (-2y)/(2x+y)·2 = (x-2)·e^-(x+2y)- (4y)/(2x+y)²

Brugbart svar (1)

Svar #5
29. oktober 2019 af janhaa

#3
f ' x = exp(-(x+2y)) - x*exp(-(x+2y)) + (2y/(2x+y))

Brugbart svar (1)

Svar #6
29. oktober 2019 af mathon

f_y = x·e^-(x+2y)·(-2) + 1·ln(2x+y) + y/(2x+y)·1 = -2x·e^-(x+2y) + ln(2x+y) + y/(2x+y)

f_yy = -2·e^-(x+2y)·(-2) + 1/(2x+y)·1 + 1·(1/(2x+y))·1 + y·(-1/(2x+y)²)·1 = 4·e^-(x+2y) + (4x+y)/(2x+y)²

Brugbart svar (1)

Svar #7
29. oktober 2019 af mathon

Latex er i drift igen.

$\small \begin{array}{llll}&\frac{\partial }{\partial y}\left (\frac{\partial }{\partial x} \right )=f_{yx}=\frac{\partial }{\partial y}\left ( (1-x)e^{-(x+2y)}+\frac{2y}{2x+y} \right )=\\\\ &(1-x)\cdot e^{-(x+2y)}\cdot (-2)+\frac{2(2x+y)-2y\cdot 1}{(2x+y)^2}=2(x-1)\cdot e^{-{(x+2y)}}+\frac{4x}{(2x+y)^2}\\\\\\ &\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \right )=f_{xy}=\frac{\partial }{\partial x}\left( -2x\cdot e^{-(x+2y) }+\ln(2x+y)+\frac{y}{2x+y}\right)=\\\\& -2\cdot e^{-(x+2y)}+(-2x)\cdot e^{-(x+2y)}\cdot (-1)+\frac{2\cdot (2x+y)}{(2x+y)^2}+\frac{-y\cdot 2}{ (2x+y)^2}=2(x-1)\cdot e^{-(x+2y)}+\frac{4x}{(2x+y)^2} \\\\ \textup{dvs}&f_{yx}=f_{xy} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #8
29. oktober 2019 af mathon

Rettelse:

$\small \begin{array}{llll}&\frac{\partial }{\partial y}\left (\frac{\partial }{\partial x} \right ) \rightarrow\frac{\partial }{\partial y}\left (\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \right ) \end{array}$

Svar #9
01. november 2019 af Lapendio

Fedt tak for hjælpen!

Svar #10
02. november 2019 af Lapendio

Hej igen,

Jeg har en funktion

$z = f(x,y)= ((x-1)^2+(y+1)^2)^{\frac{3}{2}}$

Hvordan skal jeg bestemme ∂z/∂x ogsaa med respekt til y ?

Jeg har gjort følgende, hvor jeg har sagt u = x - 1 og t = y + 1, således at

∂z/∂x = u^2-1 * u' + t^2-1 * t' med bruge af chain rule , men hvordan jeg skriver jeg ellers t' ? Fordi det giver 0 med respekt til x, og så får vi følgende y + 1 * 0 også får jeg samme problem ved respekt til 0. Hvad gør jeg ?

Brugbart svar (1)

Svar #11
02. november 2019 af mathon

$\small \begin{array}{lrll} &z=f(x,y)=&\left [(x-1)^2+(y+1)^2 \right ]^{\frac{3}{2}}\\\\ &\frac{\partial z}{\partial x}=&\frac{3}{2}\left [(x-1)^2+(y+1)^2 \right ]^{\frac{1}{2}}\cdot 2\cdot (x-1)=\\\\ &&3(x-1)\cdot \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2 }\\\\\\\\ &\frac{\partial z }{\partial y}=&\frac{3}{2}\left [(x-1)^2+(y+1)^2 \right ]^{\frac{1}{2}}\cdot 2\cdot (y+1)=\\\\ &&3(y+1)\cdot \sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2 } \end{array}$

Svar #12
03. november 2019 af Lapendio

Jeg henfører til denne tråd i forlængelse, fordi det handler om stationary points https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1919557

Skriv et svar til: Partial differentiation

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.