Matematik

sin(x)=0,6 i intervallet [0;2pi]

02. november 2019 af SofieAmalieJensen - Niveau: A-niveau

Hej, jeg har fået stillet en opgave med en række ligninger hvor jeg f.eks. skal bestemme sin(x)=0,6 i intervallet [0;2pi]. Jeg har regnet det igennem wordmat og her får jeg 0,64. Men jeg kan se i facit at der burde være to løsninger, hvor den anden er 2,5. Jeg ville bare lige spørge om nogen kunne fortælle mig hvordan man kommer frem til den anden løsning?

Tak på forhånd.

Brugbart svar (1)

Svar #1
02. november 2019 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \textup{Benyttes}&\sin(x)=\sin(\pi -x)=0.6\\\\ \textup{har du:}&x=\sin^{-1}(0.6)=0.6435&&\pi-x=0.6435\\\\ &&&x=\pi -0.6435=2.4981\\\\ \textup{L\o sningen til }&\sin(x)=0.6\textup{ er }x=\left\{\begin{array}{lll} 0.6435\\ & \textup{4 dec.}\\2.4981 \end{array}\right. \end{array}$

Svar #2
02. november 2019 af SofieAmalieJensen

#1
$\small \small \begin{array}{lllllll} \textup{Benyttes}&\sin(x)=\sin(\pi -x)=0.6\\\\ \textup{har du:}&x=\sin^{-1}(0.6)=0.6435&&&&\pi-x=0.6435\\\\ &&&&&x=\pi -0.6435=2.4981\\\\ \textup{L\o sningen til }&\sin(x)=0.6\textup{ er }x=\left\{\begin{matrix} 0.6435\\2.4981 \end{matrix}\right. \end{array}$

Tusind tak for hjælpen!:)

Svar #3
02. november 2019 af SofieAmalieJensen

#1
$\small \begin{array}{lllllll} \textup{Benyttes}&\sin(x)=\sin(\pi -x)=0.6\\\\ \textup{har du:}&x=\sin^{-1}(0.6)=0.6435&&\pi-x=0.6435\\\\ &&&x=\pi -0.6435=2.4981\\\\ \textup{L\o sningen til }&\sin(x)=0.6\textup{ er }x=\left\{\begin{array}{lll} 0.6435\\ & \textup{4 dec.}\\2.4981 \end{array}\right. \end{array}$

hvad nu hvis intervallet er [-pi/2;pi/2]?

Brugbart svar (1)

Svar #4
02. november 2019 af AMelev

Så er der kun én løsning.
Prøv at tegne grafen i det angivne interval - husk at vælge radian.

Svar #5
02. november 2019 af SofieAmalieJensen

#4
Så er der kun én løsning.
Prøv at tegne grafen i det angivne interval - husk at vælge radian.

Når jeg prøver at tegne den i Geogebra siger den at sin(x)=0,6 er en implicit kurve. Skal jeg omskrive den?

Brugbart svar (1)

Svar #6
02. november 2019 af AMelev

Du skal tegne grafen for sin(x), og så kan du aflæse, hvor 2.koordinaterne er 0.6.

Svar #7
02. november 2019 af SofieAmalieJensen

#6
Du skal tegne grafen for sin(x), og så kan du aflæse, hvor 2.koordinaterne er 0.6.

Men jeg får to løsninger? Se vedhæftet.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2019-11-02 kl. 23.45.10.png

Svar #8
02. november 2019 af SofieAmalieJensen

okay tak

Brugbart svar (0)

Svar #9
03. november 2019 af ringstedLC

#7: Men det er jo for cos(x).

Svar #10
03. november 2019 af SofieAmalieJensen

#9
#7: Men det er jo for cos(x).

Ja, undskyld det var mig der ikke fik sagt at der var tale om cos i den opgave. Nu giver det mening igen:)

Men i en opgave står der cos(x)=0,2 for alle reelle tal, hvordan kan det opskrives? for cos er vel ikke periodisk ligesom tan

Brugbart svar (0)

Svar #11
03. november 2019 af mathon

cos er periodisk med perioden 2π.

Brugbart svar (1)

Svar #12
03. november 2019 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllllll} \textup{Benyttes}&\cos(x)=\cos(2\pi -x)=0.2\qquad x\in\left [ 0;2\pi \right ]\\\\ \textup{har du:}&x=\cos^{-1}(0.2)=1.36944&&2\pi-x=1.3694\\\\ &&&x=2\pi -1.36944=4.91375\\\\ \textup{L\o sningen til }&\cos(x)=0.2\textup{ er }x=\left\{\begin{array}{lll} 1.3694\\ & \textup{4 dec.}\\4.91375 \end{array}\right. \end{array}$

Svar #13
03. november 2019 af SofieAmalieJensen

#12
$\small \small \small \begin{array}{lllllll} \textup{Benyttes}&\cos(x)=\cos(2\pi -x)=0.2\qquad x\in\left [ 0;2\pi \right ]\\\\ \textup{har du:}&x=\cos^{-1}(0.2)=1.36944&&2\pi-x=1.3694\\\\ &&&x=2\pi -1.36944=4.91375\\\\ \textup{L\o sningen til }&\cos(x)=0.2\textup{ er }x=\left\{\begin{array}{lll} 1.3694\\ & \textup{4 dec.}\\4.91375 \end{array}\right. \end{array}$

Men hvis den løses grafisk får jeg mange flere løsninger, hvordan kan det passe

Brugbart svar (0)

Svar #14
03. november 2019 af ringstedLC

#10: Trig.-funktionerne sin/cos og tan/cot er periodiske med perioderne:

$\begin{align*} \text{sinus/cosinus}:2\pi \\ \text{tangens/cotangens}:\pi \end{align*}$

#13: Løsningenerne i #12 er begrænset til x ∈ [0; 2π].

$\begin{align*} \text{Overgangsformler}: \cos(x) &= \cos(x+p\cdot 2\pi)\;,\;p\in\mathbb{Z} \\ &= \cos(x-p\cdot 2\pi) \\ \cos(x) &= \cos(-x) \\ &= \cos(-(x-p\cdot 2\pi)) \\&= \cos(-x+p\cdot 2\pi) \\\\ \cos(x)=\cos(x-p\cdot 2\pi)=0.2 &\vee \cos(-x+p\cdot 2\pi)=0.2\;,\;x\in\mathbb{R} \\ x-p\cdot 2\pi=\cos^{-1}(0.2)&\vee -x+p\cdot 2\pi=\cos^{-1}(0.2) \\ x=\cos^{-1}(0.2)+p\cdot 2\pi&\vee x=-\cos^{-1}(0.2)+p\cdot 2\pi \\ x &=\pm\cos^{-1}(0.2)+p\cdot 2\pi \end{align*}$

Vedhæftet fil:A_M_078 - Trig. ligning_SofieAmalieJensen.png

Svar #15
03. november 2019 af SofieAmalieJensen

#14
#10: Trig.-funktionerne sin/cos og tan/cot er periodiske med perioderne:

$\begin{align*} \text{sinus/cosinus}:2\pi \\ \text{tangens/cotangens}:\pi \end{align*}$

#13: Løsningenerne i #12 er begrænset til x ∈ [0; 2π].

$\begin{align*} \text{Overgangsformler}: \cos(x) &= \cos(x+p\cdot 2\pi)\;,\;p\in\mathbb{Z} \\ &= \cos(x-p\cdot 2\pi) \\ \cos(x) &= \cos(-x) \\ &= \cos(-(x-p\cdot 2\pi)) \\&= \cos(-x+p\cdot 2\pi) \\\\ \cos(x)=\cos(x-p\cdot 2\pi)=0.2 &\vee \cos(-x+p\cdot 2\pi)=0.2\;,\;x\in\mathbb{R} \\ x-p\cdot 2\pi=\cos^{-1}(0.2)&\vee -x+p\cdot 2\pi=\cos^{-1}(0.2) \\ x=\cos^{-1}(0.2)+p\cdot 2\pi&\vee x=-\cos^{-1}(0.2)+p\cdot 2\pi \\ x &=\pm\cos^{-1}(0.2)+p\cdot 2\pi \end{align*}$

De er da ikke bgrænset til [0;2pi],når der i opgaven står alle reele tal? eller er det mig der misforstået hvad du mener

Brugbart svar (1)

Svar #16
03. november 2019 af ringstedLC

I #13 spørger du efter flere løsninger end angivet i #12. Dertil svarer jeg, at i #12 er intervallet begrænset til [0;2π] og giver en beregning for alle reelle tal som opgaven kræver.

Brugbart svar (1)

Svar #17
03. november 2019 af mathon

Uden x-begrænsning:

$\small \small \small \small \begin{array}{lllllll} \textup{Benyttes}&\cos(x)=\cos(2\pi -x)=0.2\qquad x\in\mathbb{R}\\\\ \textup{har du:}&x=\cos^{-1}(0.2)=1.36944&2\pi-x=1.3694\\\\ &&x=2\pi -1.36944=4.91375\\\\ \textup{L\o sningen til }&\cos(x)=0.2\textup{ er }x=\left\{\begin{array}{lll} 1.3694+p\cdot 2\pi \\ & \textup{4 dec.}&p\in\mathbb{Z}\\4.91375+p\cdot 2\pi \end{array}\right. \end{array}$

Svar #18
03. november 2019 af SofieAmalieJensen

#17
Uden x-begrænsning:

$\small \small \small \small \begin{array}{lllllll} \textup{Benyttes}&\cos(x)=\cos(2\pi -x)=0.2\qquad x\in\mathbb{R}\\\\ \textup{har du:}&x=\cos^{-1}(0.2)=1.36944&2\pi-x=1.3694\\\\ &&x=2\pi -1.36944=4.91375\\\\ \textup{L\o sningen til }&\cos(x)=0.2\textup{ er }x=\left\{\begin{array}{lll} 1.3694+p\cdot 2\pi \\ & \textup{4 dec.}&p\in\mathbb{Z}\\4.91375+p\cdot 2\pi \end{array}\right. \end{array}$

Ja det var det jeg mente, super tusind tak for hjælpen:)

Skriv et svar til: sin(x)=0,6 i intervallet [0;2pi]

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.