Matematik

Bevis for to uligheder (limsup og liminf).

12. november kl. 17:54 af Mathias7878 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle

I min sidste afleveringsopgave for matematik analyse 1 skal jeg bevise følgende uligheder:

\limsup_{k\rightarrow \infty} (a_k+b_k)\leq \limsup_{k\rightarrow \infty} (a_k)+\limsup_{k\rightarrow \infty} (b_k)

og

\liminf_{k\rightarrow \infty} (a_k+b_k)\geq \liminf_{k\rightarrow \infty} (a_k)+\liminf_{k\rightarrow \infty} (b_k)

For førstnævnte ulighed har jeg brugt, at 

\limsup_{k\rightarrow \infty} (a_k) = \limsup_{n\rightarrow \infty} \{a_k : k\geq n\}

og defineret 

sup\{a_k : k\geq n\}) = A_n

som det største overtal i mængden og tilsvarende for b. 

Da gælder der, når k større eller lig n, at 

a_k \leq A_n

samt

b_k \leq B_n

og derfor

a_k+b_k \leq A_n+B_n

og ved at anvende den tidligere definitionen ender vi så ud med, at

sup\{a_k+b_k : k\geq n\} \leq A_n+B_n

men kan vi så bare tag grænseværdien for n gående mod uendelig på begge sider af lighedstegnet og ende ud med

\limsup_{k\rightarrow \infty} \{a_k+b_k : k\geq n\} \leq \limsup_{n \rightarrow \infty} \{a_k : k\geq n\}) + \limsup_{n \rightarrow \infty} \{b_k : k\geq n\})

og så er vi done?

Er ikke helt sikker på om det sidste gælder, men jeg kan ikke se, hvordan jeg skal komme videre ellers.

Please help! :) 


Brugbart svar (0)

Svar #1
12. november kl. 18:46 af Bibo53

Jeg mener, at dit argument er korrekt, hvis ellers du forklarer, at du benytter, at hvis A_n\rightarrow A og B_n\rightarrow B, så gælder der A_n+B_n\rightarrow A+B.


Svar #2
12. november kl. 19:27 af Mathias7878

Hvis man skal forklare uligheden med ord er det så fordi at når man tager supremum til en sum af to følger, dvs. venstre siden så er deres supremum indekseret ved et bestemt k (de kan ikke have forskellige værdier af k), men i princippet kan den ene godt have supremum ved et andet k, lad os sige den ene har supremum ved k = 2 og den anden ved k = 3? Derfor kan de to supremumer godt være lig hinanden, men summen på venstre siden siden kan dog aldrig blive større end højre siden.

- - -

 

 


Brugbart svar (0)

Svar #3
12. november kl. 19:51 af Bibo53

#2 Jeg er ikke helt sikker på, at jeg forstår, hvad du mener. Hvis du er ude efter et eksempel, hvor der gælder skarpt ulighedstegn, så betragt for eksempel følgerne

(5,-5,5,-5,5,-5,\dots)

og

(-5,5,-5,5,-5,5,\dots).


Svar #4
12. november kl. 20:24 af Mathias7878

Vi tog udgangspunkt i følgende eksempler:

Vi lod 

a_k = (-1)^k

og

b_k = (-1)^{k-1}

og sagde f.eks., ved ikke om det giver mening, men det gav mening for os, at hvis a_k og b_k havde supremum, når k = 2 (her tænker vi på venstre siden, fordi de skal være indekseret ved samme k, så fik vi

(-1)^2+(-1)^{2-1} = 1-1 = 0

men b_k i stedet for havde supremum når k = 3, her tænker vi på højre siden, hvor det var supremum af to uafhængige følger, så fik vi

(-1)^2+(-1)^{3-1} = 1+1 = 2

og dermed kunne sup(a_k+b_k) vær lig eller mindre end sup(a_k) + sup (b_k) men aldrig større.

Er eksemplet helt forkert stillet op eller? 

- - -

 

 


Brugbart svar (0)

Svar #5
12. november kl. 21:06 af Bibo53

Gør du det ikke mere kompliceret, end det er? Da a_k+b_k=(0,0,0,0,\dots), er \limsup_{k\rightarrow\infty} (a_k+b_k)=0, mens \limsup_{k\rightarrow\infty} a_k=1 og \limsup_{k\rightarrow\infty} b_k=1.


Svar #6
12. november kl. 21:41 af Mathias7878

Har du mulighed for at forklare nærmere hvorfor

a_k + b_k = (0,0,0,0,..) ?

Nu er jeg ikke den skarpeste endnu til al det her logiske tankegang og bevisføring endnu, men vi skal vel definere a_k og b_k som et eller andet? Tog du udgangspunkt i det, jeg definerede det som?

Og hvordan bliver

 \limsup(a_k+b_k) = 0

og

\limsup a_k = 1

og

\limsup b_k = 1

Er det fordi 1 er en øvre grænse for lim sup a_k og b_k? Men hvordan bliver summen af de to så 0?

- - -

 

 


Brugbart svar (1)

Svar #7
12. november kl. 22:32 af Bibo53

Ja, jeg tog udgangspunkt i din definition. Da

a_k=(-1,1,-1,1,\dots)

og

b_k=(1,-1,1,-1,\dots),

er

a_k+b_k=((-1)+1,1+(-1),(-1)+1,1+(-1),\dots)=(0,0,0,0,\dots).

Ifølge definitionen af \limsup gælder der

\limsup_{k\rightarrow\infty}a_k=\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\sup_{l\geq k}a_l\right)=1

og

\limsup_{k\rightarrow\infty}b_k=\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\sup_{l\geq k}b_l\right)=1.

Da følgen a_k+b_k er konstant nul, er

\limsup_{k\rightarrow\infty} (a_k+b_k)=0.


Skriv et svar til: Bevis for to uligheder (limsup og liminf).

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.