Matematik

vektorer og koordinatsæt hjælp

06. december 2019 af slettetbruger - Niveau: B-niveau

Hej!

Hvordan løser man en opgave, hvor koordinatsættet er:  Q(x,f(x)). Har ingen anelse om hvordan man løser den. tak for forhånden.

opgaven: 
 
En funktion f er bestemt ved:

f(x)=2*e^x
 
Punktet P har koordinatsættet P(3,1) . Punktet Q ligger på grafen for f og har koordinatsættet Q(x,f(x)). 
 
a) opstil et udtryk for længden af vektor QP
 
b) Bestem koordinatsættet til Q, så længden af vektor QP
 bliver mindst mulig. 


Brugbart svar (0)

Svar #1
06. december 2019 af PeterValberg

\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}

\overrightarrow{QP}=\binom{x}{2e^x}-\binom{3}{1}=\binom{x-3}{2e^x-1}

\left|\overrightarrow{QP}\right|=\sqrt{(x-3)^2+(2e^x-1)^2}

- - -

mvh.

Peter Valberg


Brugbart svar (0)

Svar #2
06. december 2019 af PeterValberg

Lad g(x) være en funktion, der bestemmer længden
af vektor QP, som en funktion af x:

g(x)=\sqrt{(x-3)^2+(2e^x-1)^2}

bestem den afledede funktion g'
Løs ligningen g'(x)=0
Indsæt den fundne værdi for x i forskriften for f 
Derved har du koordinatsættet til Q, så vektor QP har mindst mulig længde

- - -

mvh.

Peter Valberg


Brugbart svar (0)

Svar #3
06. december 2019 af mathon

\small \begin{array}{lllll} &P(3,1)&Q(x,2e^x)\\\\ a)&\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}=&\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x\\2e^x \end{pmatrix}=\left(\begin{array}{cc} 3-x\\ 1-2e^x \end{array}\right)\\\\ &\left | \overrightarrow{QP} \right |=\sqrt{(3-x)^2+\left (1-2e^x \right )^2}\\\\ &\textup{da kvadratrodsfunktionen er }&\textup{voksende, er }\left | \overrightarrow{QP} \right |\textup{ mindst, n\aa r }R(x)=(3-x)^2+\left (1-2e^x \right )^2\\ &\textup{har minimum.}\\\\ &\textup{minimum kr\ae ver bl.a.}\\\\ &R{\, }'(x)=0\\\\ &2(3-x)(-1)+2(1-2e^x)(-2e^x)=&2x-6-4e^x(1-2e^x)=0\\\\ &x=0.125577 \end{array}

        \small \begin{array}{lllll} &P(3,1)&Q(x,2e^x)\\\\ a)&\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}=&\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x\\2e^x \end{pmatrix}=\left(\begin{array}{cc} 3-x\\ 1-2e^x \end{array}\right)\\\\ &\left | \overrightarrow{QP} \right |=\sqrt{(3-x)^2+\left (1-2e^x \right )^2}\\\\ &\textup{da kvadratrodsfunktionen er }&\textup{voksende, er }\left | \overrightarrow{QP} \right |\textup{ mindst, n\aa r }R(x)=(3-x)^2+\left (1-2e^x \right )^2\\ &\textup{har minimum.}\\\\ &\textup{minimum kr\ae ver bl.a.}\\\\ &R{\, }'(x)=0\\\\ &2(3-x)(-1)+2(1-2e^x)(-2e^x)=&2x-6-4e^x(1-2e^x)=0\\\\ &x=0.125577 \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #4
06. december 2019 af mathon

      \textup{fortegnsvariation}
      \textup{for }R{\, }'(x)\textup{:}       -                0            +
                      _______  0.125577________
      \textup{monotoni}                   \textup{glo. min}
      \textup{for }R(x)\textup{:}    \textup{aftagende}               \textup{voksende}
      
                         


Brugbart svar (0)

Svar #5
06. december 2019 af mathon

\small \begin{array}{llll} \textbf{konklusion:}\\ &&\left | \overrightarrow{QP} \right |(x)\textup{ har minimum for }x=0.125577\\ &\textup{dvs}\\ &&\textup{i punktet Q}(x,f(x))=\left ( 0.125577,2e^{0.125577} \right )=\left ( 0.125577,2.2676 \right ) \end{array}


Skriv et svar til: vektorer og koordinatsæt hjælp

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.