Matematik

Differentialligning - væksthastighed

07. december 2019 af Lei20 (Slettet) - Niveau: A-niveau

I en model over antal 1000 gærceller, N, i en udtaget prøve fra ølbrygning, gælder det at

dN/dt = 0,0008 * N * (660 - N)

Her er t antal timer efter tilsætningen af gæren.

Det oplyses, at N(0) = 5

a) Bestem den øvre grænse for antallet af gærceller i prøven.

Den øvre grænse er 660. Det betyder, at antallet af gærceller kan vokse til 660 i prøven.

b) Bestem en forskrift for N

N(t)=(e^(-0,528·t)·131+1)^(-1)·660

c) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden af antallet af gærceller er størst.

Jeg ved, at man skal løse ligningen N´´(t) = 0. Med mit CAS-værktøj får jeg det til t = -63,6 V t = 9,23

Kan det passe, at det er 9,23, fordi væksthastigheden ikke kan være negativ? Eller er jeg helt galt på den?

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. december 2019 af mathon

$\small \small \begin{array}{llll} &N(t)=\frac{660}{1+131\cdot e^{-0.528\cdot t}} \\\\\\&\frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=0.0008\cdot \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}\cdot (660-N)+0.0008\cdot N\cdot (-\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t})=0.0008\cdot \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}(660-2N) \\\\ \textup{maksimal}\\\textup{v\ae ksthastighed}\\\textup{kr\ae ver bl.a.} &\frac{\mathrm{d} ^2N}{\mathrm{d} t^2}=\underset{\textbf{{\color{Red} positiv}}}{\underbrace{0.0008\cdot \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}}}\cdot (660-2N)=0 \\\textup{hvoraf}\\&660-2N=0\\\\ &N=330\\\textup{og}\\&330=\frac{660}{1+131\cdot e^{-0.528\cdot t}}\\\\&1+131\cdot e^{-0.528\cdot t}=2\\\\ &131\cdot =1\\\\&e^{-0.528\cdot t}=\frac{1}{131}\\\\&e^{0.528\cdot t}=131\\\\&0.528\cdot t=\ln(131) \\\\&t=\frac{\ln(131)}{0.528}=9.23 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. december 2019 af mathon

Så svaret er: Ja det passer!"

Skriv et svar til: Differentialligning - væksthastighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.