Matematik

partiel integration

02. januar 2020 af Stevenfeldt - Niveau: A-niveau

Jeg har lidt problemer med disse opgaver:

$\int \sqrt(x)\cdot e^{\sqrt(x)}dx$

$\int x^2/(2+x^6) dx$

Opgaverne skal løses med integration ved substitution eller partiel integration

Svar #1
02. januar 2020 af Stevenfeldt

Det lykkes mig at løse den første i mellemtiden. Den anden giver et ret mærkeligt svar i matematikprogram...

Brugbart svar (0)

Svar #2
02. januar 2020 af Soeffi

#0. 1) Benyt at...

$\frac{d(e^{\sqrt{x}})}{dx}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\cdot \sqrt{x}}$

Du får ved partiel integration:

${\color{Red} \int \sqrt{x}\cdot e^{\sqrt{x}}dx}=\int \sqrt{x}\cdot \frac{2\cdot \sqrt{x}}{2\cdot \sqrt{x}}\cdot e^{\sqrt{x}}dx=\int 2\cdot x\cdot \left ( \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}\cdot e^{\sqrt{x}} \right )dx=$

$2\cdot x\cdot e^{\sqrt{x}} -\int 2\cdot e^{\sqrt{x}} dx=2\cdot x\cdot e^{\sqrt{x}} -\int 2 \cdot \frac{2\cdot \sqrt{x}}{2\cdot \sqrt{x}} \cdot e^{\sqrt{x}} dx=$

$2\cdot x\cdot e^{\sqrt{x}} -\int 4\cdot \sqrt{x} \cdot \left ( \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}} \cdot e^{\sqrt{x}} \right ) dx=$

$2\cdot x\cdot e^{\sqrt{x}} -4\cdot \sqrt{x} \cdot e^{\sqrt{x}} +\int \frac{4}{2\cdot \sqrt{x}} \cdot e^{\sqrt{x}} dx=$

$2\cdot x\cdot e^{\sqrt{x}} -4\cdot \sqrt{x} \cdot e^{\sqrt{x}} + 4 \cdot e^{\sqrt{x}}={\color{Red} 2\cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \left ( x -2\cdot \sqrt{x} + 2 \right )}$

.......................................................................................................................................................................

2) Benyt at...

$c\cdot \int \frac{1}{1+u^2}\;du=c\cdot tan^{-1}(u)$

Du får ved substitution:..

${\color{Red} \int \frac{x^2\;dx}{2+x^6}}=\int \frac{x^2\cdot \;dx}{2\cdot (1+(\frac{x^3}{\sqrt{2}})^2)}=\int \frac{\frac{1}{3}\cdot d(x^3)}{2\cdot (1+(\frac{x^3}{\sqrt{2}})^2)}=\int \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot d(\frac{x^3}{\sqrt{2}})}{2\cdot (1+(\frac{x^3}{\sqrt{2}})^2)}=$

$\frac{\sqrt{2}}{6}\cdot \int \frac{d(\frac{x^3}{\sqrt{2}})}{1+(\frac{x^3}{\sqrt{2}})^2}={\color{Red} \frac{\sqrt{2}}{6}\cdot tan^{-1}(\frac{x^3}{\sqrt{2}})}$

Svar #3
02. januar 2020 af Stevenfeldt

Ser imponerende ud :)

Det eneste jeg er i tvivl om er:

hvorfor gælder $x^2 \cdot dx=1/3 \cdot d(x^3)$ ??

Brugbart svar (0)

Svar #4
03. januar 2020 af Anders521

# 3 Du spørger hvorfor gælder der at x²·dx = (1/3)· d(x³).

Hvis y =(1/3)·x³ og finder differentialkvotienten af y (mht. x), haves dy/dx = (1/3)·d(x³) = (1/3)·3x² = x² , men differentialet dy er så dy = x²·dx. Dvs. at x²·dx = (1/3)· d(x³).

Brugbart svar (0)

Svar #5
03. januar 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll}\#3\\&\textup{eller noteret:}\\ &&u=x^3\\\\&&\frac{\mathrm{d}u }{\mathrm{d} x}=3x^2\\\\ &&\mathrm{d}u=3x^2\mathrm{d}x\\\\ &&\frac{1}{3}\mathrm{d}u=x^2\mathrm{d}x\\\\&&\frac{1}{3}\mathrm{d}x^3=x^2\mathrm{d}x \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. januar 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{ved substitutionen:}&u=x^3\\\\ \textup{har du:}&\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=3x^2\\\\ &\frac{1}{3}\mathrm{d}u=x^2\mathrm{d}x\\ \textup{hvoraf:}\\ &\int \frac{x^2}{2+x^6}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{2+(x^3)^2}x^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\int \frac{1}{2+u^2}\mathrm{d}u=\frac{1}{6}\int \frac{1}{1+\left ( \frac{u}{\sqrt{2}} \right )^2}\mathrm{d}u \\\textup{og da formen}\\&\int \frac{1}{1+v^2}\mathrm{d}v\qquad \textup{\o nskes}\\\textup{s\ae ttes}\\&v=\frac{1}{\sqrt{2}}u\\\\&\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} u}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\\&\sqrt{2}\mathrm{d}v=\mathrm{d}u\\\textup{hvoraf:}\\&\frac{1}{6}\int \frac{1}{1+\left ( \frac{u}{\sqrt{2}} \right )^2}\mathrm{d}u=\frac{\sqrt{2}}{6}\int \frac{1}{1+v^2}\mathrm{d}v\\\textup{som ved brug af}\\&c\cdot \int \frac{1}{1+v^2}\mathrm{d}v=c\cdot \tan^{-1}(v) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. januar 2020 af mathon

$\small \small \small \small \begin{array}{lllll}\\\textup{og}\qquad \qquad \quad\,\,\, \, \,\, \, \, \, &v=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot u=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot x^3=\frac{x^3}{\sqrt{2}}\\\textup{giver:}\\\\&\frac{\sqrt{2}}{6}\int \frac{1}{1+v^2}\, \mathrm{d}v=\frac{\sqrt{2}}{6}\cdot \tan^{-1}\left ( \frac{x^3}{\sqrt{2}} \right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
03. januar 2020 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll}\textup{fuldst\ae ndigg\o relse}\\\textup{af stamfunktion:}&\int \frac{x^2}{2+x^6}\, \mathrm{d}x=\frac{\sqrt{2}}{6}\tan^{-1}\left ( \frac{x^3}{\sqrt{2}} \right )+k \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
03. januar 2020 af Soeffi

#2. I 1) benytter man også substitution nemlig:

$\\u=e^{\sqrt{x}} \;og\; du=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\cdot \sqrt{x}}\cdot dx$

Dvs. det er en blanding af substitution og partiel integration.

Brugbart svar (0)

Svar #10
03. januar 2020 af Soeffi

#2...
${\color{Red} \int \frac{x^2\;dx}{2+x^6}}=\int \frac{x^2\cdot \;dx}{2\cdot (1+(\frac{x^3}{\sqrt{2}})^2)}=\int \frac{\frac{1}{3}\cdot d(x^3)}{2\cdot (1+(\frac{x^3}{\sqrt{2}})^2)}=\int \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot d(\frac{x^3}{\sqrt{2}})}{2\cdot (1+(\frac{x^3}{\sqrt{2}})^2)}=$

$\frac{\sqrt{2}}{6}\cdot \int \frac{d(\frac{x^3}{\sqrt{2}})}{1+(\frac{x^3}{\sqrt{2}})^2}={\color{Red} \frac{\sqrt{2}}{6}\cdot tan^{-1}(\frac{x^3}{\sqrt{2}})}$

Jeg gør det på denne måde for at undgå at skulle lave to substitutioner. Disse er vist i #6.

Svar #11
03. januar 2020 af Stevenfeldt

Tak skal I have - det er et meget grundigt svar !

Skriv et svar til: partiel integration

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.