Matematik

Bevis af toppunktsformlen

14. januar 2020 af Apollonia57 (Slettet) - Niveau: B-niveau

Jeg er igang med at bevise toppunktsformlen, men jeg sidder fast i det sidste trin hvor jeg skal indsætte x værdien ind i andengradspolynomiet.

$x= -\frac{b}{2a}$

Jeg indsætter x værdien ind i andengradspolynomiumet:

$a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c$

$a\left(-\frac{b^2}{2^2a^2}\right)+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c$

$a\left(-\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{2a}+c$

$-\frac{ab^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c$

Jeg forkorter med a i den første brøk:

$-\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c$

Jeg forlænger med 2 i den anden brøk:

$-\frac{b^2}{4a}-\frac{2b^2}{4a}+c$

Jeg skriver c om til en brøk og forlænger med 4a

$-\frac{b^2}{4a}-\frac{2b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}$

Jeg sætter dem nu på fælles brøkstreg:

$-\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}$

$-\frac{-b^2+4ac}{4a}$

Her får jeg nogle problemer med fortegnene, og det kan godt være det skyldes mine mellemregninger er forkerte... Jeg vil gerne have at det i tælleren er det samme som tallet d. Jeg har prøvet fx. at gange med -1 for at ændre på fortegnene, men jeg skal ende ud med en negativ brøk, da y koordinaten til toppunktet er : $-\frac{d}{4a}$

Jeg får:

$-\frac{-b^2+4ac}{4a}=\frac{-b^2+4ac}{-4a}=\frac{-1\left(-b^2+4ac\right)}{\left(-1\right)-4a}=\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{d}{4a}$

Så ender jeg ud med en postiv brøk, hvilket jeg ikke vil have.

Hvad er det jeg gøre forkert? Tak på forhånd.

Svar #1
14. januar 2020 af Apollonia57 (Slettet)

Eller kan man gøre det her? Nu prøver jeg bare forskellige ting, det her ser godt nok underligt ud, så jeg ved ikke om det er korrekt: $\frac{-1\left(-\left(-b^2+4ac\right)\right)}{-4a}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. januar 2020 af Anders521

# 1

Der er en fejl i # 0. Ved indsættelse af x = (-b/2a) i f(x) = ax² +bx +c fås f(-b/2a) = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c. Omskrives højresiden fås b²/4a - b²/2a +c.

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. januar 2020 af Anders521

Fortsættelse:

Samles alle leddende som brøk med fællesnævneren 4a burde man få det ønskede resultat, dvs.

b2/4a - b2/2a + c = (1/4a)·(b²-2b²+4ac) = (1/4a) (-b2 + 4ac) = (1/4a) ·(-(b2 - 4ac))

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. januar 2020 af Soeffi

#0...
$a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c=$

$a\left((-1)^2\cdot \frac{b^2}{2^2a^2}\right)+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c=$

$a\cdot \frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c=$

$-\frac{b^2}{4a}+c$

Skriv et svar til: Bevis af toppunktsformlen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.