Differentialligninger

Sidder selv og øver mig på differentialligninger. Det bedste jeg kan komme med er:

a) Brug d=20 og m(0) = 0 til at løse differentialligningen, så får du en forskrift til m(t).

Brug m(0) = 0 som startbetingelse til at beregne den konstant, du vil få, når du blot løser differentialligningen med d=20. Hvis du bruger et CAS-værktøj, bør der være en kommando til dette.

I TI-Nspire vil det se sådan ud:

b) Løs igen differentialligningen med startbetingelsen m(0) = 0, men indsæt i stedet forskellige værdier for d, fx 10, 20, 30. Tegn grafer for disse tre forskrifter - så skulle du gerne se en sammenhæng.

c) Hvis mængden af medicin i blodbanen (altså m(t)) aldrig vil overstige 85% af d, vil det sige, at

m_max = 85% * d

eller

m_max = 0,85d

Så skal du jo kigge på maksimum for grafen. Her vil det være oplagt at kigge på d = 100, for så må m_max = 0,85.

Du differentierer m(t) når d=100, sætter m'(t) til at være lig med 0 og finder t. Så bruger du den t-værdi til at bestemme m(t) når du indsætter den fundne værdi på t's plads. Så skulle du gerne få ca. 85, hvilket jo er 85% af 100.

Lille rettelse til c) hvor jeg skrev at m_max = 0,85. Jeg mente m_max = 85. :)

#1

Sidder selv og øver mig på differentialligninger. Det bedste jeg kan komme med er:

a) Brug d=20 og m(0) = 0 til at løse differentialligningen, så får du en forskrift til m(t).

Brug m(0) = 0 som startbetingelse til at beregne den konstant, du vil få, når du blot løser differentialligningen med d=20. Hvis du bruger et CAS-værktøj, bør der være en kommando til dette.

I TI-Nspire vil det se sådan ud:

b) Løs igen differentialligningen med startbetingelsen m(0) = 0, men indsæt i stedet forskellige værdier for d, fx 10, 20, 30. Tegn grafer for disse tre forskrifter - så skulle du gerne se en sammenhæng.

c) Hvis mængden af medicin i blodbanen (altså m(t)) aldrig vil overstige 85% af d, vil det sige, at

m_max = 85% * d

eller

m_max = 0,85d

Så skal du jo kigge på maksimum for grafen. Her vil det være oplagt at kigge på d = 100, for så må m_max = 0,85.

Du differentierer m(t) når d=100, sætter m'(t) til at være lig med 0 og finder t. Så bruger du den t-værdi til at bestemme m(t) når du indsætter den fundne værdi på t's plads. Så skulle du gerne få ca. 85, hvilket jo er 85% af 100.

Hvorfor må d = 100, når der er 85%?
 

I c) står der at mængden af medicin i blodbanen aldrig vil overstige (dvs. blive større end) 85% af d.

Altså må der gælde at:

m_max = 0,85 * d.

Hvis du ser på tilfældet hvor d=100, vil mængden af medicin i blodbanen, m(t), jo maksimalt kunne blive 85:

m_max = 0,85 * 100 = 85

Du kunne egentlig tage en helt anden værdi af d og bruge det til at vise hvorfor det er sådan... men det er lettest at se det når d=100, for alle kan jo regne ud at 85% af 100 er 85. :)

Det er blot en værdi som du kan bruge til at vise at mængden af medicin i blodbanen maksimalt kan være 85% af d. Det er altså ikke ensbetydende med, at d=100.