Matematik

Uligheder

10. april 2020 af JohnDoe1990 - Niveau: A-niveau

DR har en opgave her som lyder:

Hvis x+y ≥ a, x - y ≥ -1, og minimumsværdien af z = x + ay = 7, hvad er a så?

Denne formulering er umiddelbart noget vrøvl. Jeg formoder de mener:

Hvis x+y ≥ a, x - y ≥ -1, og minimumsværdien af z = x + ay er 7, hvad er a så?

De skriver endvidere at det rigtige svar er -5 eller 3. Men dette er da helt ikke korrekt, vel? Der findes mange flere løsninger end dette: Vi kan jo betragte følgende system af uligheder:

y \geq a-x

y \leq 1+x

og

y \geq \frac{7-x}{a}, \quad a \neq 0

Hvis a er lig med 1, og man tegner de tre uligheder i planen, så ser man at der findes en ubegrænset delmængde A af planen, hvis punkter opfylder de 3 uligheder; nemlig:

A=\left \{ (x,y)) | 3 \leq x, \ 7-x \leq y \right \}

og endvidere er der uendeligt mange punkter (x,y) i denne delmængde som opfylder at z=7. (de ligger alle på linjen y=7-x, x>3)


Brugbart svar (1)

Svar #1
11. april 2020 af Eksperimentalfysikeren

Den sidste ulighed stemmer ikke overens med det opgivne. Dit resultat siger heller ikke noget om a.

De to første uligheder deler planen ind i fire områder. Den ene grænse er afhængig af a, mens den anden ligger fast. Det område, der er interessant, er området over skæringspunktet, altså det område, der indenholder den positive ende af y-aksen. Hvis z antager et minimum i dette område, vil det ligge i skæringspunktet, da z er lineært afhængig af x og y.

Opgaven består så i at afgøre, om der er et minimum i skæringspunktet, og hvilken værdi af a, der give z=7. Læg mærke til, at det er z lig med 7, ikke mindre end eller større end.

Find først skæringspunktets koordinater udtrykt ved a. Find derefter de a-værdier, der giver z=7 for disse skæringspunkter. Afslut med at undersøge, om der er tale om et minimum. (se, om z vokser eller aftager ved at vælge et punkt på hver grænselinie).


Brugbart svar (1)

Svar #2
11. april 2020 af oppenede

Lad x = 7, y = -4, a = 3.

Da gælder
    x + y ≥ a  og  x - y ≥ -1
          3 ≥ 3           11 ≥ -1
samt  z = x + ay = -5, så z's minimumsværdi er ikke 7 når a = 3.


Brugbart svar (1)

Svar #3
11. april 2020 af Eksperimentalfysikeren

Jeg kan se, at jeg har lavet en fejl. Det område, der skal betragtes (og som repræsenterer de to uligheder) ligger til  højre i koordinatsystemet, ikke oppe. Det punkt, der er nævnt i #2 ligger i dette område.


Svar #4
11. april 2020 af JohnDoe1990

Tak for de gode svar :-)


Brugbart svar (0)

Svar #5
11. april 2020 af oppenede

Hvis vi ændrer opgaven til
  Hvis x + y ≥ a, x - y ≤ -1, og minimumsværdien af z = x + ay er 7, hvad er a så

så er svaret a = 3, og kun den værdi.


Skriv et svar til: Uligheder

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.