Matematik

Panserformlen bevis

31. maj kl. 15:34 af sarahshj2 - Niveau: A-niveau

Hej jeg sidder med panserfomlen, hvor jeg er kommet i tvivl om man godt kan sige at man trække integrationskonstanten fra (markeret med gul). 

Har set nogle andre gennemgå det, som ikke yderligere kommenterer på hvorfor de lægger konstanten c til på højre-siden. Jeg er derfor i tvivl om det gule er forkert eller ej - kan man godt trække den fra?

Vedhæftet fil: Billede1.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. maj kl. 15:43 af peter lind

Det kan du godt; men det er lidt overflødig da integralet på højre side jo selv indeholder en ubestemt konstant


Svar #2
31. maj kl. 15:54 af sarahshj2

Men er lidt i tvivl om hvorfor jeg har trukket det fra. Nogen steder skriver de nemlig med et plus (se vedhæftede i denne besked), er det så forkert?

Min forklaring jeg har skrevet til at jeg trækker den fra er: 

- Hvis vi tager stamfunktionen på begge sider, ved vi at de to stamfunktioner er ens på nær en konstant c. 

Forstår ikke helt hvorfor man godt må trække konstanten c fra...?

Vedhæftet fil:Billede2.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. maj kl. 15:55 af AMelev

Såvel F(x)=\int{(y\cdot e^{A(x)})}'dxsom G(x)=y\cdot e^{A(x)} er stamfunktioner til {(y\cdot e^{A(x)})}', og så adskiller de sig bare fra hinanden med en konstant.

Om du lægger denne konstant til den ene eller den anden er ligegyldigt. Det er også ligegyldigt, om du kalder konstanten c eller -c, da du i begge tilfælde får alle reelle tal med (G(x) = F(x) + k ⇔ F(x) = G(x) - k).
Her har man så valgt at skrive F(x) = G(x) - c, så man senere får + c på højresiden (det er pænere).

Du kunne også have sagt + k, og når du så i næste trin fik - k på højresiden, kunne du omdøbe -k til c.


Svar #4
31. maj kl. 16:01 af sarahshj2

Så man kan forstå det som at venstresiden i det gule udtryk angiver stamfunktionen og højresiden angiver den fuldstændige løsning, da man lægger en konstant til?

#3: 

- man kan vel ikke skrive G(x)+k?

 


Brugbart svar (0)

Svar #5
31. maj kl. 16:13 af peter lind

Det er bare en ubestemt konstant som både kan være positiv og negativ så hvad enten du skriver +c eller -c er ligegyldig. Du får alle muligheder med


Brugbart svar (0)

Svar #6
31. maj kl. 16:16 af AMelev

Begge sider er den fuldstændige løsning - de er jo ens. Du kan ikke tale om stamfunktionen - der er jo uendeligt mange stamfunktioner.

#4      - man kan vel ikke skrive G(x)+k?

Jeg er ikke sikker på, jeg forstår, hvad du mener. Om du skriver G(x) = F(x) + k eller F(x) = G(x) + k er ligegyldigt. k vil bare have modsat fortegn i de to tilfælde, og k skal jo gennemløbe alle reelle tal (positive som negative) for at få samtlige løsninger.


Svar #7
31. maj kl. 16:21 af sarahshj2

#5: 

Tusind tak, okay så for at være helt sikker, ville forklaringen fra linje 1 til 2 så bare være: 

Når vi integrerer vores udtryk på venstresiden vil vi få en fuldstændig løsning ved at trække konstanten c fra,  højresiden angiver en stamfunktion... - føler ikke jeg forstå det helt rigtigt, hvordan skal det forklares...?
 


Brugbart svar (0)

Svar #8
31. maj kl. 16:26 af AMelev

#2 
                                              
Sidste linje er forkert, da der skulle - c på højresiden, men ...
Hvis vi nu i den gule linje kalder konstanten k i stedet for c, så får vi i sidste linje - k på højresiden.
Så laver vi "barnedåb" og sætter c = -k og så står der det, vi gerne ville have.
Din ide med at kalde konstanten -c i linje 2 er mindst lige så god, og så undgår du fortegnsfejlen i sidste linje.


Svar #9
31. maj kl. 16:28 af sarahshj2

Men hvorfor er det okay at kalde konstanten for -c? For hvis man nu sagde at kosntanten var 5, så vil den jo få et modsat fortegn dvs. blive -5, hvis jeg indsatte det, og så er konstanten jo ikke længere 5...?


Brugbart svar (0)

Svar #10
31. maj kl. 16:46 af AMelev

#7 Hellere:
"Når vi integrerer vores udtryk på venstresiden skal vi bestemme en stamfunktion og lægge en konstant til.
y\cdot e^{A(x)} er stamfunktion til {(y\cdot e^{A(x)})}', og konstanten kalder jeg -c, hvor c ∈ R." 

NB! At integrere en funktion betyder at bestemme samtlige stamfunktioner til funktionen.
 


Svar #11
31. maj kl. 16:49 af sarahshj2

#7:
Okay tak, giver mere mening. Men synes bare altid man har fået afvide, at man skal lægge en integrationskonstant til og ikke trække en fra. Kan godt se, at man så opnår at der står +c på højresiden, men man har det jo så bare ikke på venstresiden...


Brugbart svar (0)

Svar #12
31. maj kl. 17:19 af AMelev

#9 For den enkelte stamfunktion har det selvfølgelig betydning, om der står + 5 eller - 5, men k bestemmes jo ud fra den enkelte funktion, ikke omvendt.

Hvis vi tager et eksempel med den klassiske opgave:
f(x) = 3x2 + 4x +1. Bestem den stamfunktion, hvis graf går gennem P(1,7)
F(x) = x3 + 2x2 + x + k,  F(1) = 7 ⇔ 4 + k = 7 ⇔ k = 3, så F(x) = x3 + 2x2 + x + 3
G(x) = x3 + 2x2 + x - k,  G(1) = 7 ⇔ 4 - k = 7 ⇔ k = -3, så G(x) = x3 + 2x2 + x + 3


Brugbart svar (0)

Svar #13
31. maj kl. 17:25 af AMelev

#11 Du har jo også lagt en integrationskonstant til - du har lagt -c til.
Det er ligegyldigt, hvad du kalder  konstanten, bare den gennemløber samtlige reelle tal. Du kunne for den sags skyld kalde den 735k eller k3 eller 3k-4, men det kan være lidt svært at få øje på det smarte i det.


Svar #14
31. maj kl. 17:26 af sarahshj2

#9

Okay eksemplet gav mega god mening, tak! Så man kan vel sige at trække -c eller ligge c til giver den samme konstant når man integrerer, da man jo skal isolerer for c ved at indsætte et punkt. 


Skriv et svar til: Panserformlen bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.