Matematik

Sinus- og cosinusrelationen

11. juni kl. 00:22 af Ditteniel - Niveau: A-niveau

Hej igen, jeg skal snakke om cosinusrelationer og bevise for sætningen, men jeg tænkte over hvad er forskellen mellem cosinus- og sinusrelationen. Jeg ved at man bruger cosinusrelationen til at finde alle vinkler eller længde på en side, og sinus bruges arealet, vinkler og sidelængder. Men hvad er egentlig forskellen mellem de to relationer og er der tilfælder man bruger den ene frem for den anden?


Brugbart svar (0)

Svar #1
11. juni kl. 00:27 af StoreNord


Brugbart svar (0)

Svar #2
11. juni kl. 05:53 af PeterValberg

Mht. beviset for cosinusrelationen, se eventuelt video nr. 17 eller 18 på denne videoliste < LINK >

- - -

mvh.

Peter Valberg


Brugbart svar (0)

Svar #3
11. juni kl. 08:39 af mathon

Begge relationer kræver oplysning om 3 "stykker" for at et fjerde kan beregnes, hvor der med "stykke" menes
en side eller en vinkel.

                        \small \begin{array}{lc|llcc} \textup{\textbf{cosinus}relationen}&&&\textup{\textbf{sinus}relationen}\\\hline \textup{En vinkel og dens}&&&\textup{En vinkel og dens}\\ \textup{hosliggende sider }&&&\textup{modst\aa ende side}\\ \textup{er kendt. Vinklens}&&&\textup{skal v\ae re kendt.}\\ \textup{modst\aa ende side kan}&&&\textup{Med et kendt stykke}\\ \textup{beregnes.}&&&\textup{mere kan et fjerde}\\ &&&\textup{stykke beregnes.}\\ \textup{Kendes alle tre sider}&\\ \textup{kan trekantens vinkler}&&&\textbf{Pas p\aa \ sinus-f\ae lden!}\\ \textup{beregnes.}&&&\textup{Supplementvinker har \textbf{samme}}\\ &&&\textup{sinus.} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #4
11. juni kl. 12:27 af mathon

                    

                        \small \small \begin{array}{llll}& \cos-\textup{relationen kan benyttes til}\\& \textup{vinkelberegning \textbf{i alle tilf\ae lde},\; (3 sider kendt) }\\& \textup{da cos(v) er }\mathrm{\acute{e}}\textup{ntydig i intervallet }\; 0<v<180\degree\\\\\\& A=\cos^{-1}\left ( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right )\\\\& B=\cos^{-1}\left ( \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \right )\\\\& C=\cos^{-1}\left ( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right ) \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #5
13. juni kl. 10:07 af mathon

                        \small \begin{array}{llll}& \textup{Er vinklen A og siden a kendt}\\& \textup{haves:}&b=\frac{a}{\sin(A)}\cdot \sin(B)\\\\&& c=\frac{a}{\sin(A)}\cdot \sin(C)\\\\\\&&B=\sin^{-1}\left (\frac{\sin(A)}{a}\cdot b \right )\\\\&& C=\sin^{-1}\left (\frac{\sin(A)}{a}\cdot c \right ) \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #6
16. juni kl. 09:10 af mathon

Som eksempel på sinusfælden henvises 
til tredje trekantstilfælde, hvor der er givet en vinkel, dens modstående og én af dens hosliggende sider, f.eks.
A, a og b. Man kan beregne B, C og c ved hjælp af følgende formler:

                                  \small \begin{array}{llllll} \left\{\begin{array}{rll}\sin(B)&=&\frac{\sin(A)}{a}\cdot b\\\\C&=&180\degree -\left ( A+B \right )\\\\c&=&\frac{a}{\sin(A)}\cdot \sin{C} \end{array}\right. \end{array}

Da supplementvinkler har samme sinus, har trekanten to løsninger
hvis
                                                \small \begin{array}{llll} 0<A<90\degree\\\\ b\cdot \sin(A)<a<b \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #7
16. juni kl. 09:22 af mathon

eksempel:

            Beregn B, C og c i den eller de trekant(er), hvori

                         \small \begin{array}{llllllll} A=34.6\degree&&a=5.7&&b=7.3 \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #8
30. juni kl. 11:52 af mathon

\begin{array}{lllll} \textup{Da}\\&& \begin{array}{lll} 0<A<90\degree\\ \end{array}\\ \textup{og}\\&& \begin{array}{llll} b\cdot \sin(A)<a<b \end{array}\\ \textup{har }\Delta \textup{ABC}\\ \textup{\textbf{to} l\o sninger:}\\&& \begin{array}{llll} \sin(B)=\frac{\sin(34.6\degree)}{5.7}\cdot 7.3\end{array}\\\\&& \begin{array}{l|l|l} B_1=\sin^{-1}\left ( \frac{\sin(34.6\degree)}{5.7}\cdot 7.3 \right )=46.7\degree& C_1=180\degree-(34.6\degree+46.7\degree)=98.7\degree&c_1=\frac{5.7}{\sin(34.6\degree)}\cdot \sin(46.7\degree)=7.3 \end{array}\\\\\\&& \begin{array}{l|l|l} B_2=180\degree-46.7\degree=133.3\degree& C_2=180\degree-(34.6\degree+133.3\degree)=12.1\degree&c_2=\frac{5.7}{\sin(34.6\degree)}\cdot \sin(12.1\degree)= 2.1 \end{array} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #9
04. juli kl. 09:18 af mathon

Tastekorrektion:

\small \begin{array}{lllll} \textup{Da}\\&& \begin{array}{lll} 0<A<90\degree\\ \end{array}\\ \textup{og}\\&& \begin{array}{llll} b\cdot \sin(A)<a<b \end{array}\\ \textup{har }\Delta \textup{ABC}\\ \textup{\textbf{to} l\o sninger:}\\&& \begin{array}{llll} \sin(B)=\frac{\sin(34.6\degree)}{5.7}\cdot 7.3\end{array}\\\\&& \begin{array}{l|l|l} B_1=\sin^{-1}\left ( \frac{\sin(34.6\degree)}{5.7}\cdot 7.3 \right )=46.7\degree& C_1=180\degree-(34.6\degree+46.7\degree)=98.7\degree&c_1=\frac{5.7}{\sin(34.6\degree)}\cdot \sin(98.7\degree)=\mathbf{{\color{Red} 9.9}} \end{array}\\\\\\&& \begin{array}{l|l|l} B_2=180\degree-46.7\degree=133.3\degree& C_2=180\degree-(34.6\degree+133.3\degree)=12.1\degree&c_2=\frac{5.7}{\sin(34.6\degree)}\cdot \sin(12.1\degree)= 2.1 \end{array} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #10
06. juli kl. 10:33 af mathon

\small \small \begin{array}{lllll} \textup{evt.}\\& \begin{array}{lllll} \left \{ c_1,c_2 \right \}=\left \{ b\cdot \cos(A)+a\cdot \cos(B_1),b\cdot \cos(A)-a\cdot \cos(B_1) \right \}\\\\ \left \{ c_1,c_2 \right \}=\left \{ 7.3\cdot \cos(34.6\degree)+5.7\cdot \cos(46.7\degree), 7.3\cdot \cos(34.6\degree)- 5.7\cdot \cos(46.7\degree) \right \}=\left \{ 9.9,2.1 \right \} \end{array} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #11
07. juli kl. 09:50 af mathon

#7  
      Kan også løses med cosinus-relationen ved at begynde med sideberegning af \small c.

      \small \begin{array}{lllll} \textup{Bregning af }c\textup{:}\\& \begin{array}{lllll} a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(A)\\\\ c^2-(2\cdot b\cdot \cos(A))\cdot c+(b^2-a^2)=0\\\\ c=\frac{2b\cos(A)\pm\sqrt{(2b\cos(A))^2-4\cdot 1\cdot (b^2-a^2)}}{2}\\\\ c=b\cdot \cos(A)\pm\sqrt{(b\cdot \cos(A))^2-(b^2-a^2)} \end{array}\\\\ \textup{aktuelt:}\\& \begin{array}{lllll} c=7.3\cdot \cos(34.6\degree)\pm\sqrt{(7.3\cdot \cos(34.6\degree))^2-(7.3^2-5.7^2) }\\\\ c=6.0089\pm\sqrt{6.0089^2-20.8}=6.0089\pm\sqrt{15.3068}\\\\ c=\left\{\begin{array}{lll}9.92\approx 9.9\\ 2.09\approx 2.1 \end{array} \right. \end{array}\\ \textup{med efterf\o lgende}\\ \textup{vinkelberegning:}\\& \begin{array}{lllll} B=\cos^{-1}\left ( \frac{a^2+c^2-b^2}{2\cdot a\cdot c} \right )\\\\ C=\cos^{-1}\left (\frac{a^2+b^2-c^2}{2\cdot a\cdot b} \right ) \end{array}\\ \textup{aktuelt:}\\& \begin{array}{lllll} B_1=\cos^{-1}\left ( \frac{5.7^2+9.92^2-7.3^2}{2\cdot 5.7\cdot 9.92} \right )=46.7\degree\\\\ \end{array} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #12
07. juli kl. 10:22 af mathon

\small \begin{array}{lllll} \textup{aktuelt:}\\& \begin{array}{lllll} C_1=\cos^{-1}\left ( \frac{5.7^2+7.3^3-9.92^2}{2\cdot 5.7\cdot 7.3} \right )=67.0\degree\\\\\\ B_2=\cos^{-1}\left ( \frac{5.7^2+2.09^2-7.3^2}{2\cdot 5.7\cdot 2.09} \right )=133.6\degree\\\\ C_2=\cos^{-1}\left ( \frac{5.7^2+7.3^2-2.09^2}{2\cdot 5.7\cdot 7.3} \right )=12.0\degree \end{array}\\\\& \begin{array}{lllll} \end{array} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #13
07. juli kl. 10:52 af mathon

Tastekorrektion:

\small \small \begin{array}{lllll} \textup{aktuelt:}\\& \begin{array}{lllll} C_1=\cos^{-1}\left ( \frac{5.7^2+7.3^3-9.92^2}{2\cdot 5.7\cdot 7.3} \right )=98.7\degree\\\\\\ B_2=\cos^{-1}\left ( \frac{5.7^2+2.09^2-7.3^2}{2\cdot 5.7\cdot 2.09} \right )=133.6\degree\\\\ C_2=\cos^{-1}\left ( \frac{5.7^2+7.3^2-2.09^2}{2\cdot 5.7\cdot 7.3} \right )=12.0\degree \end{array}\\\\ \textup{vinkelsumkontrol:}\\& \begin{array}{lllll} A+B_1+C_1=\left (34.6+46.7+98.7 \right )\degree=180\degree\\\\ A+B_2+C_2=\left (34.6+133.6+12.0 \right )\degree=180.2\degree \end{array} \end{array}


Skriv et svar til: Sinus- og cosinusrelationen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.