Matematik

Bevis statestik

11. juni 2020 af nrg19 - Niveau: A-niveau

Hvordan skal dette bevises. Jeg en nogenlunde en ide om at det er via differentialregning kan dog stadig ikke se hvordan.

Vedhæftet fil: 8777.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. juni 2020 af janhaa

$f ' (x)=k*e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}(-\frac{x-\mu}{\sigma})=0\\ \\ e^{\pm k}\neq 0\\ -x+\mu=0\\ x=\mu$

Statistik

Svar #2
11. juni 2020 af nrg19

#1
$f ' (x)=k*e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}(-\frac{x-\mu}{\sigma})=0\\ \\ e^{\pm k}\neq 0\\ -x+\mu=0\\ x=\mu$

Statistik

Kan du uddybe nærmere?

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. juni 2020 af AMelev

Alternativ til #1
For x ≠ μ gælder, da e^x er voksende, og $\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma }$ er en positiv konstant, at

$(\frac{x-\mu }{\sigma })^2>0\Rightarrow -\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{\sigma })^2<0\Rightarrow e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{\sigma })^2}<e^0=1\Rightarrow$
$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma }\cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{\sigma })^2} <\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma }\Rightarrow f(x)<f(\mu)$

Ad #1 Sædvanlig metode til at bestemme lokale ekstrema (nulpunkter og fortegn for f ')

f er en sammensat funktion af $e^x\: \textup{og}\: {-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2},\: k=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma }$ $k\cdot e^x\: \textup{og}\: {-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2},\:\textup{hvor}\: k=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma }$
$f ' (x)=k\cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}(-\frac{x-\mu}{\sigma})=0\Leftrightarrow$
$\small k\cdot e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})^2}=0\: \textup{eller}\: (-\frac{x-\mu}{\sigma})=0\: \begin{matrix} k\cdot e^{...}>0\\ \Leftrightarrow \end{matrix}\Leftrightarrow (-\frac{x-\mu}{\sigma})=0\Leftrightarrow x=\mu$
$\small x<\mu\Rightarrow -\frac{x-\mu}{\sigma}>0\: \textup{og}\: x>\mu\Rightarrow -\frac{x-\mu}{\sigma}<0$
Fortegnsvariationen for f ' er altså + 0 -, så f har max i $\small x=\mu$

Skriv et svar til: Bevis statestik

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.