Matematik

faktorisering af polynomier

19. juni kl. 08:20 af ty16 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Jeg har brug for hjælp til følgende opgave.
 

Er tallet 1+2i en rod i polynomiet p(z) = z4 + 2z2 + 8z +5 ( Afgør ved indsættelse )

Betyder dette, at jeg skal bruge divisionsalgoritmen og dividere 1+2i med p(z)?? 

eller skal jeg skrive 1+2i anderledes, altså skal det skrive z+2i? 


Brugbart svar (1)

Svar #1
19. juni kl. 09:23 af mathon

              \small \small \small \begin{array}{lllll} \textup{Inds\ae ttelse:}&(1+2\textbf{\textit{i}})^4+2\cdot (1+2\textbf{\textit{i}})^2+8\cdot (1+2\textbf{\textit{i}})+5=\\\\& 1^4+4\cdot 1^3\cdot 2\textbf{\textit{i}}+6\cdot 1^2\cdot \left ( 2\textbf{\textit{i}} \right )^2+4\cdot 1\cdot \left ( 2\textbf{\textit{i}} \right )^3+\left ( 2\textbf{\textit{i}} \right )^4+\\\\&+2\cdot 1^2+2\cdot 4\textbf{\textit{i}}+2\cdot (2\textbf{\textit{i}})^2+8+16\textbf{\textit{i}}+5=\\\\\\& 1+8\textbf{\textit{i}}+24\textbf{\textit{i}}^2+32\textbf{\textit{i}}^3+16\textbf{\textit{i}}^4+2+8\textbf{\textit{i}}+8\textbf{\textit{i}}^2+8+16\textbf{\textit{i}}+5\\\\& \left (1-24+16+2-8+8+5 \right )+(8-32+8+16)\cdot\textbf{\textit{i}}=0 \\ \textup{dvs}\\&1+2\textbf{\textit{i}}\textup{ \textbf{er} rod i polynomiet }z^4+2z^2+8z+5 \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #2
19. juni kl. 09:30 af mathon

detaljer:
                  \small \begin{array}{lllll} \left ( a+b \right )^4=a^4+4\cdot a^3\cdot b+6\cdot a^2\cdot b^2+4\cdot a\cdot b^3+b^4\\\\ \textbf{\textit{i}}^2=-1\qquad \textbf{\textit{i}}^3=-\textbf{\textit{i}}\qquad \textbf{\textit{i}}^4=1 \end{array}


Svar #3
19. juni kl. 10:51 af ty16

tak for hjælpen mathon


Brugbart svar (0)

Svar #4
21. juni kl. 21:06 af mathon

division:    

             \small \begin{array}{llllll} \underline{z-(1+2\textbf{\textit{i}})}|z^4+2z^2+8z+5|\underline{z^3+(1+2\textbf{\textit{i}})z^2+ (-1+4\textbf{\textit{i}})z+ (-1+2\textbf{\textit{i}})}\\ \qquad \qquad \quad \; \, \underline{z^4-(1+2\textbf{\textit{i}})z^3}\\ \qquad \qquad \qquad \; \; \; \; \; \; (1+2\textbf{\textit{i}})z^3+2z^2+8z+5\\ \qquad \qquad \qquad \quad\; \;\underline{ (1+2\textbf{\textit{i}})z^3-(-3+4\textbf{\textit{i}})z^2}\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad\quad\, (-1+4\textbf{\textit{i}})z^2+8z+5\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad\, \underline{(-1+4\textbf{\textit{i}})z^2-\left (-9+2\textbf{\textit{i}} \right )z}\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \quad\; \, \, (-1+2\textbf{\textit{i}})z+5\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \quad\; \, \, \underline {(-1+2\textbf{\textit{i}})z+5}\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad0 \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #5
22. juni kl. 09:48 af mathon

division:

            \small \small \begin{array}{llllll} \underline{z-(1-2\textbf{\textit{i}})}|z^3+(1+2\textbf{\textit{i}})z^2+(-1+4\textbf{\textit{i}})z+(-1+2\textbf{\textit{i}})|\underline{z^2+2z+1=(z+1)^2}\\ \qquad\qquad \quad\; \, \underline{z^3-(1-2\textbf{\textit{i}})z^2}\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; \,2z^2+(-1+4\textbf{\textit{i}})z+(-1+2\textbf{\textit{i}})\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; \,\underline{2z^2-(2-4\textbf{\textit{i}})z}\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\, \, z+(-1+2\textbf{\textit{i}})\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; \, \, \underline{z-(1-2\textbf{\textit{i}})}\\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \quad\, \, 0 \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #6
22. juni kl. 09:55 af mathon

dvs
          \small \begin{array}{lllll} \textup{faktorisering:}&z^4+2z^2+8z+5=(z+1)^2\cdot (z-(1+2\textbf{\textit{i}}))\cdot (z-(1-2\textbf{\textit{i}})) \end{array}


Skriv et svar til: faktorisering af polynomier

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.