Matematik
Grænseværdi
Svar #3
17. juli 2020 af AskTheAfghan
Challenge accepted. Det er velkendt, at 1/(1+x2) = Σn≥0 (-1)nx2n for |x| < 1. Derved fås ved integration arctan(x) = Σn≥0 (-1)nx2n+1/(2n + 1) for |x| < 1. Men denne uendelige række konvergerer i x = 1, og så ville det sidste resultat også gælde for x = 1 jf. Abels sætningen. Det betyder, at π/4 = arctan(1) = Σn≥0 (-1)n/(2n + 1) [se Gregory's series for hyggens skyld]. Ganger man på hver side af dette udtryk med 4i, kunne man sammenligne det med dit undtryk ved eksponenten. Ved kontinuitet, nærmer dit udtryk sig mod eiπ = -1 jf. Eulers formler.
Skriv et svar til: Grænseværdi
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.