omegn

Omegnen ≈ egnen omkring noget.

Lad  x ∈ ] x₁ ; x₂ [  som er en symmetrisk omegn om 3
og
f (x₁) → 1,5  for  x → x₁
og
f (x₂) = 2,5   for  x → x₂

Der findes mindst to definitioner på "omegn" i matematikken.

A: En omegn om x er et åbent interval, der er symmetrisk om x.

B: En omegn om x er et åbent interval, der indeholder x.

Du må på jagt i din lærebog, for at finde ud af, hvilken definition, I bruger. I det følgende gætter jeg på, at det er A, I bruger.

Find de x-værdier, afbildes ind i intervallet ]1,5;2,5[. Det er et interval. Prøv så at finde et interval, der ligger symmetrisk om 3 og som ligger inde i det fundne interval.

Det betyder, at hvis du tager et x fra omegnen ω'(3) og indsætter i f, vil f returnere en værdi, der ligger i den omegn, ω'(2), der er givet i opgaveteksten.

Hvis du f.eks. vælger x=1, giver f(1) = 0, som ikke ligger i intervallet ]1,5;2,5[. Derfor kan 1 ikke være element i ω'(3).

Bemærk, at fordi ω'(2) ikke indeholder 2, kan en x-værdi, der giver f(x)=2 ikke være element i ω'(3).

En omegn om x₀ er et åbent interval
|x - x₀| < ε    ⇔   x₀ - ε < x < x₀ + ε
Hvis x ligger i dette interval, ligger x i omegnen af x₀ .
Den udprikkede omegn om x₀ indeholder ikke x₀ .
Ved at gøre ε vilkårlig positiv lille, kan vi indsnævre omegnen om x₀ .
Det er denne tankegang der ligger i kontinuitet og grænseværdi for funktioner.

NB! ω(3) på tegningen er en ikke-symmetrisk, udprikket omegn.