Matematik

Løsning af komplekst tredjegradspolynomium

13. september 2020 af 45yy45y5 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg ønsker at vide, om min fremgangsmetode og mit resultat er korrekt. Følgende komplekse tredjegradspolynomium er givet:

$P(z)=\frac{1}{2}z^3-z^2+\frac{5}{2}z+13$

Jeg finder, at -2 er en rod. Jeg anvender nu nedstigningssætningen:

$P(z)=(z+2)Q(z)$

$b_{2}=a_{3}=\frac{1}{2}$

$b_{1}=a_{2}+3b_{2}=-1+3\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$b_{0}=a_{1}+3b_{1}=\frac{5}{2}+3\frac{1}{2}=4$

$P(z)=(z+2)Q(z)=(z+2)(\frac{1}{2}z^2+\frac{1}{2}z+4)$

Jeg udregner diskriminanten:

$D=\frac{1}{2}^2-4\frac{1}{2}*4=-\frac{31}{4}$

Der forekommer altså ikke yderligere rødder end -2.

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. september 2020 af peter lind

Jeg har ikke regnet efter men fremgangsmetoden er god nok men komplekse rødder er også en mulighed. Du får altså yderligere 2 komplekse rødder

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. september 2020 af MandenMedMangeHatte

Det er rigtigt at -2 er den eneste reelle løsning. Men der findes yderligere to komplekse løsninger til ligningen - som Peter Lind også skriver.

Svar #3
13. september 2020 af 45yy45y5 (Slettet)

Jeg prøver at finde de komplekse rødder. Der opstilles en binom ligning:

$D=w^2=-\frac{15}{2}$

Løsningerne hertil findes:

$w_{1}=i*\sqrt{\frac{15}{2}}$

$w_{2}=-i*\sqrt{\frac{15}{2}}$

De komplekse rødder findes nu:

$\frac{-\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{15}{2}}}{2*\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}+i\sqrt{\frac{15}{2}}$

$\frac{-\frac{1}{2}-i\sqrt{\frac{15}{2}}}{2*\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-i\sqrt{\frac{15}{2}}$

Hvilket jeg formoder er korrekt, eller hvad?

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. september 2020 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}& (z+2)\cdot \left ( \frac{1}{2}z^2-2z+\frac{13}{2} \right )=0\\\\& \frac{1}{2}z^2-2z+\frac{13}{2} =0\\\\& z=\frac{2\mp\sqrt{2^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{13}{2}}}{2\cdot \frac{1}{2}}=\left \{\begin{array}{lll}2-3\textbf{\textit{i}}\\2+3\textbf{\textit{i}} \end{array}\right.\\\\ \textup{fuldst\ae ndig l\o sning:}\\& z=\left\{\begin{array}{lll}-2\\2-3\textbf{\textit{i}}\\2+3\textbf{\textit{i}} \end{array}\right. \end{array}$

Svar #5
13. september 2020 af 45yy45y5 (Slettet)

Til #4: Du får Q(z) til noget andet end mig; hvor går min udregning af Q(z) galt?

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. september 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \underline{z+2}|\;\frac{1}{2}z^3-z^2+\frac{5}{2}z+13\;\;|\underline{\frac{1}{2}z^2-2z+\frac{13}{2}}\\ \qquad \; \; \,\underline{ \frac{1}{2}z^3+z^2}\\ \qquad \qquad-2z^2+\frac{5}{2}z+13\\ \qquad \qquad\underline{-2z^2-4z}\\ \qquad \qquad \qquad\quad \frac{13}{2}z+13\\ \qquad \qquad \qquad\quad\underline{ \frac{13}{2}z+13}\\ \qquad \qquad \qquad\qquad \; \; \; 0 \end{array}$

Svar #7
13. september 2020 af 45yy45y5 (Slettet)

Jeg er med. Tak!

Skriv et svar til: Løsning af komplekst tredjegradspolynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.