Matematik

Optimering

06. oktober 2020 af Jaki1234 - Niveau: B-niveau

Hej Jeg har fået dette spørgsmål:

En cylinder er indskrevet i en kugle med radius 3, som vist på figuren. Hvilekn højde h skal cylinderen have, for at dens rumfang bliver størst som muligt?

Jeg ved slet ikke hvordan jeg skal lave den.

(obs, på de vedlagte billede, står der 2h hvilket er en fejl, der skal kun stå h)

Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. oktober 2020 af PeterValberg

Du nævner et vedlagt billede, - hvor blev det af?

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (1)

Svar #2
06. oktober 2020 af oppenede

Rumfanget bliver π·√432

Brugbart svar (1)

Svar #3
06. oktober 2020 af oppenede

Set fra siden er cylinderen en firkant i en cirkel:

hvor v kan vælges fra 0 til 90 grader.

Højden er 6sin(v) og radius er 3cos(v), så rumfanget er R = π·r²·h = 54·π·cos(v)²·sin(v)

Vedhæftet fil:fig.png

Brugbart svar (1)

Svar #4
06. oktober 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{Cylindervolumen:}&V(v)=54\pi\cdot \left ( 1-\sin^2(v) \right )\cdot \sin(v)& 0<v<90\degree\\\\& V(v)=54\pi\cdot \left ( \sin(v)- \sin^3(v)\right )&0<v<\frac{\pi}{2} \\\\& V{\, }'(v)=54\pi\cdot\left ( \cos(v)-3\sin^2(v)\cdot \cos(v) \right )\\\\ \textup{maksimum kr\ae ver:}&V{\, }'(v)=\underset{\begin{array}{lll}\textup{{\color{Red} {positiv}}} \end{array}}{\underbrace{54\pi\cdot \cos(v)}}\cdot (1-3\sin^2)(v)=0\\\\& 1-3\sin^2(v)=0\\\\& 3\sin^2(v)=1\\\\& \sin^2(v)=\frac{1}{3}\\\\& \sin(v)=\mp\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\& v=\left\{\begin{array}{lll} -0.61548&\textup{som m\aa \ forkastes}\\0.61548 \end{array}\right. \\\\& h=6\cdot \sin(0.61548)=3.46 \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
06. oktober 2020 af Capion1

Jeg får den gunstige vinkel til
$2\tan^{-1}\sqrt{2-\sqrt{3}}\: \: \: rad$ $=\: \: \: \: \frac{360}{\pi }\tan^{-1}\sqrt{2-\sqrt{3}}\: \: \: grader$ = 54,7356...º

Skriv et svar til: Optimering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.