Matematik

Vektorer i rummet

12. oktober 2020 af RAED22 - Niveau: A-niveau

I et sædvanligt (x, y, z)-koordinatsystem i rummet betragtes punkterne A = (1,1,1), B = (3,0,0), C = (0,4,3) og D = (2,3,2).

a) Vis at de fire punkter udspænder et parallelogram P , opstil en parameterfrem- stilling for P , og bestem arealet af P .


Brugbart svar (0)

Svar #1
12. oktober 2020 af Capion1

Bestem to ikke-parallelle retningsvektorer for planen hvori P ligger samt et punkt i planen.
Du må i formelsamlingen kunne se, hvordan parameterfremstillingen nedskrives.
Der er to parametre, én for hver af retningsvektorerne.
 


Brugbart svar (1)

Svar #2
12. oktober 2020 af ringstedLC

Bestem fire vektorer, der forbinder punkterne. Hvis de parvis er parallelle og lige lange, må punkterne danne et parallellogram.

Arealet er absolutte (numeriske) værdi af determinanten.


Brugbart svar (0)

Svar #3
12. oktober 2020 af BirgerBrosa

#2 Man kan kun tage determinanten af en kvadratisk matrix.

Du mener nok at arealet er den absolutte værdi af krydsproduktet.


Brugbart svar (1)

Svar #4
12. oktober 2020 af ringstedLC

#2: Tak for rettelsen. Dog vil jeg mene, at det er længden af krydsproduktet.

\begin{align*} A_{parall.} &= \left | \vec{a}\times \vec{b} \right | \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #5
12. oktober 2020 af BirgerBrosa

#3 Rettelse:

Du mener nok at arealet er den absolutte værdi af krydsproduktet.

Du mener nok at arealet er den længden af krydsproduktet.

#4 Du har ret.


Brugbart svar (0)

Svar #6
12. oktober 2020 af oppenede

Arealet er kvadratroden af determinanten af matricen ganget sin egen transponerede.


Brugbart svar (1)

Svar #7
13. oktober 2020 af mathon

\small \begin{array}{lllll} \textup{Parameterfremstilling:}\\&\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AB}+t\cdot \overrightarrow{AC}\quad s,t\in\mathbb{R}\\\\&\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 2\\-1 \\ -1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -1\\3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{array}


Svar #8
13. oktober 2020 af RAED22

hej
Et parallelogram er en firkant, hvor modstående vinkler er ens
så vinkel to vektoer BA og BD, det skal være lige med vinkel  of CD og CA
jeg fik svar på 0.70166 begge vinkel så det var samme vinkel så de er et parallelogram


Brugbart svar (1)

Svar #9
13. oktober 2020 af mathon

...eller 
              forudsætningen for et parallellogram
              er bl.a.
                              \small \small \begin{array}{lllll}& \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\\ \textup{hvilket unders\o ges }\\ \textup{om er tilf\ae ldet:}\\& \begin{array}{c|c}\hline\\ \overrightarrow{AD}&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\\\\ \hline \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}&\begin{pmatrix} 3\\0 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\4 \\ 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}\\\hline \begin{pmatrix} 1\\2 \\ 1 \end{pmatrix}&\begin{pmatrix} 2\\-1 \\ -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1\\3 \\ 2 \end{pmatrix}\\\hline \begin{pmatrix} 1\\2 \\ 1 \end{pmatrix}&\begin{pmatrix} 1\\2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{array} \\\\\\ \textbf{Konklusion:}&\textup{Firkant ABCD \textbf{er} et parallellogram.} \end{array}

                      


Svar #10
13. oktober 2020 af RAED22

super:) , tak 


Svar #11
13. oktober 2020 af RAED22

I et sædvanligt (x, y, z)-koordinatsystem i rummet betragtes punkterne A = (1,1,1), B = (3,0,0), C = (0,4,3) og D = (2,3,2).

a) Vis at de fire punkter udspænder et parallelogram P , opstil en parameterfrem- stilling for P , og bestem arealet af P .

For et vilka °rligt k > 0 betragtes vektoren v = (2, −1, k) .

b)  Bestem volumen (som funktion af k ) af den punktmængde der gennemfejes af P ,

na °r P parallelforskydesmed v.


Svar #12
13. oktober 2020 af RAED22

spørgsmål b) 


Brugbart svar (0)

Svar #13
13. oktober 2020 af oppenede

Det er absolutværdien af determinanten af den 3x3 matrix du får af v=(2, −1, k), samt to ikke-parallelle sider af parallellogrammet, f.eks. AB og AC.


Brugbart svar (0)

Svar #14
13. oktober 2020 af ringstedLC

#8:

#8

hej
Et parallelogram er en firkant, hvor modstående vinkler er ens
så vinkel to vektoer BA og BD, det skal være lige med vinkel  of CD og CA
jeg fik svar på 0.70166 begge vinkel så det var samme vinkel så de er et parallelogram

Dette kan kun bruges, når de fire punkter ligger i samme plan. På nedenstående figur er de tre vinkler også lige store.

Med metoderne i #2 og #9  vises, at punkterne ligger i samme plan.


Brugbart svar (0)

Svar #15
13. oktober 2020 af ringstedLC

Vedhæftet fil:__0.png

Skriv et svar til: Vektorer i rummet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.