Matematik

Bestem en ligning for tangenten til grafen for f ...

13. november 2020 af 1234vedikke - Niveau: B-niveau

Jeg har prøvet at løse denne her opgave, men får det forkerte resultat.

En funktion for f er bestemt ved $f(x)=x^3+x$

Bestem en ligning for tagenten til grafen for f i røringspunktet (1,f(1))

dvs. x=1

Jeg tror $f(x_0)$ er 2

Nu skal jeg vel differentiere $f'(x_0)$ , men jeg kommer hele tiden til at lave fejl her:

$f'(x_0)=3\cdot x^^{3-1}+0$

$f'(x_0)=3\cdot x^{2\:}$

Derefter skal jeg så benytte formlen for tangenten ligning?

Brugbart svar (1)

Svar #1
13. november 2020 af mathon

$\small f'(x_0)=3\cdot x^^{3-1}+1\cdot x^{1-1}=3x^2+1$

$f\, '(1)=3\cdot 1^{2}+1$

Svar #2
13. november 2020 af 1234vedikke

#1 Tak

Svar #3
13. november 2020 af 1234vedikke

Kan I være søde at hjælpe igen, jeg kom frem til

$y=4x-6$

men det er meningen, at det er -2, da er nok én fejl i mine beregninger, men som jeg ikke selv kan se...

Brugbart svar (1)

Svar #4
13. november 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll}& \textbf{Justering af tangentligning}\\\\& f(x)=x^3+x&f(1)=1^3+1=2\\\\& f{\, }'(x)=3x^2+1&f{\, }'(1)=3\cdot 1^2+1=4\\\\ \textup{Tangent i }(x_o,f(x_o))\textup{:}\\& y=f{\, }'(x_o)\cdot (x-x_o)+f(x_o)\\ \textup{Tangent i }(1,2)\textup{:}\\& y=f{\, }'(1)\cdot (x-1)+2\\\\& y=4\cdot (x-1)+2\\\\& y=4x-4+2\\\\\\& y=4x-2 \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
13. november 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textbf{Kontrol:}\\& \textup{tangentLine}\left ( x^3+x,x,1 \right ) \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
13. november 2020 af Anders521

#3 Som du nok ved, skal du bruge ligningen for tangenten

y = f '(x₀)·(x -x₀) + f(x₀), hvilket forudsætter den afledede af f findes i x₀. Men da f er et polynomium, findes denne. Med x₀ = 1 ifølge røringspunktet (x₀, f(x₀)) = (1, f(1)) regner vi først 2.koordinaten/funktionsværdien f(1) ud, hvilket giver 2. Altså har vi bestemt det sidste led i ligningen for tangenten. Nu tager vi den afledede af f således, at vi kan bestemme f '(1):

f '(x) = ( x³ + x¹ )' = ( x³ )' + ( x¹ )' = 3·x^2-1 + 1·x^1-1 = 3x² +1 Da er f '(1) = 4. Nu opstiller vi ligningen for vores tangent og skriver den på formen y = a·x + b:

y = f '(1)·(x -1) + f(1) = 4·(x -1) + 2 = 4x - 4 +2 = 4x - 2.

Ved kontrol i Geogebra (se vedhæftet billede), konkluderer vi, at y = 4x - 2 er ligningen for tangenten i punktet (1,f(1)).

Vedhæftet fil:Tangentline of f.png

Skriv et svar til: Bestem en ligning for tangenten til grafen for f ...

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.