Constant return

#0 Hvad er forskriften for produktionsfunktionen Y?

#2 Der skal nok gælde, at a + b = 1.... Nå, men med Cobb-Douglas funktionen Y(z₁,z₂) = z₁^a·z₂^b haves 

                                                           Y(z₁·α, z₂·α) = (z₁·α)^a·(z₂·α)^b                                                                                                                                                    =  (z₁^a·α^a)·(z₂^b·α^b)                                                                                                                                                =   z₁^a·z₂^b·α^a·α^b                                                                                                                                                    =  Y (z₁,z₂)·α^a+b                                                                Med 'constant return to scale' eller konstant skalafkast, skal der være en 1-1 relation ml. input og output. Derfor må a + b = 1.  

#2

Har opdaget, at indholdet i #3 skal ignoreres, pga. manglende/forkerte oplysninger.  Næste gang vedhæft et billede af opgaven, tak. Det gør jeg nu for dig.

#5 Godt, nu forstår jeg det - var nødt til at læse opgaven nøje igennem.

Opgave Der skal vises at produktionsmængden Y opfylder konstant skalaafkast hvis og kun hvis produktionsfunktionen f (•) er homogen af grad én.

Man skal altså b e v i s e følgende udsagn

1) Hvis Y har konstant skalaafkast, så er f (•) er homogen af grad én.                                                                 2) Hvis f (•) er homogen af grad én, så har Y konstant skalaafkast.

For at bevise udsagnene skal vi kende definitionen på konstant skalaafkast og "homogen af grad en". I følge lærebogen _{Microeconomic Theory}** på

a) s.132 er konstant skalaafkast defineret ved implikationen y∈Y ⇒ α·y∈Y, med skalaren α ≥ 0. Betragter man figuren 5.B.7  vil en z-værdi -z give funktionsværdien f(z), dvs. (-z, f(z) ) ∈ Y, når f er en "single-output technology". En konstant skalaafkast vil så medfører, at (-αz, f(αz) ) ∈ Y.

 b) s.928 er homogenitet af grad r defineret ved identiteten f (t·x₁,t·x₂, ..., t·x_N) = t^r·f (x₁, x₂, ... x_N) for ethvert t >0. Med grafen i figur 5.B.7, ses f at være lineært og, da f er en "single-output technology" kan identiteten omskrives til f (t·z) = t· (z).

**_{Mas-Colell, Winston & Green}

Forsættelse Nu kan 1) og 2) bevises

1) Hvis Y har konstant skalaafkast, så er f (•) er homogen af grad én.

Bevis: Med input-vektoren z ∈ R^L (hvorfor dimensionen siges at være L-1 er uvist) haves ( -z, f(z) ) ∈ Y. Per antagelse gælder der så, at (-αz, α·f(z) ) ∈ Y.  Dermed gælder uligheden α·f(z) ≤ f(αz). 

2) Hvis f (•) er homogen af grad én, så har Y konstant skalaafkast.

Bevis: Tag en input-vektor αz ∈ R^L, og en skalar α^-1. Med vektoren haves (-αz, f(αz)) ∈ Y. Per antagelsen gælder så, at  ( (α^-1)·(-αz),  (α^-1)·f(αz) ). Bemærk nu, at (α^-1)·f(αz) ≤ f( (α^-1)·(αz) ) ⇔ f(αz) ≤ α·f(z).

Med 1) og 2) haves ulighederne α·f(z) ≤ f(αz) og f(αz) ≤ α·f(z). Altså er f(αz) = α·f(z).