Matematik

omskrivning af formel

10. januar 2021 af Ukendtpige - Niveau: C-niveau

Jeg har vedhæftet en omskrivning af en formel, hvor vi gerne vil isolere x. Formlen starter ud som phytagoras sætning, men fordi den er forbundet til en opgave kan den have andre variabler. Men her er c-x altså en katete, c er hypotenusen og a er den anden katete. Vi vil gerne isolere x, men den er jo forbundet med c(c-x).

Jeg har blot fået den omskrevet i Nspire ved hjælp af solve. Jeg er dog meget nysgerrig og stædig, og vil gerne vide hvordan man har omskrevet sætningen, således at x bliver isoleret. Nogen der kan forklare mig det grundigt og detaljeret? Og hvorfor står c før kvadratrodsstegnet og ikke efter det?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2021-01-10 kl. 16.04.41.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. januar 2021 af AMelev

Træk a² fra på begge sider
Tag kvadratrod på begge sider. Da c > x, er c - x > 0, så ± kan undlades.
Læg x til og træk $\sqrt{c^2-a^2}$ fra på begge sider.

Var det det, du var på jagt efter?

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. januar 2021 af ringstedLC

$\begin{align*} (c-x)^2 &= c^2-a^2 \\ c^2-2cx+x^2 &= c^2-a^2 \\ 1x^2-2cx+a^2 &= 0 \\ x &= \frac{-(-2c)\pm \sqrt{(-2c)^2-4\cdot 1\cdot a^2}}{2\cdot 1} \\ x &=\left\{\begin{matrix} c+\sqrt{c^2-a^2}\\ c-\sqrt{c^2-a^2} \end{matrix}\right.\end{align*}$

Eller:

$\begin{align*} c^2 &= a^2+(c-x)^2 \\\sqrt{(c-x)^2} &= \sqrt{c^2-a^2}\;,\;c>a \\ \left |c-x\right | &= \sqrt{c^2-a^2} \\ c-x<0\Rightarrow -(c-x) &=\sqrt{c^2-a^2} \Rightarrow x=c+\sqrt{c^2-a^2} \\ c-x>0\Rightarrow c-x &=\sqrt{c^2-a^2} \Rightarrow x=c-\sqrt{c^2-a^2} \end{align*}$

Altså de samme løsninger. Der er bare et problem:

$\begin{align*} x=c+\sqrt{c^2-a^2}&\Rightarrow x>c \\&\Rightarrow c-x<0 \\\, &\text{dvs.\,at\,kateten\,har\,en\,negativ\,l\ae ngde!} \\ x=c-\sqrt{c^2-a^2} &\Rightarrow x<0 \\&\Rightarrow c-x>c \\ &\text{dvs.\,at\,kateten\,er\,l\ae ngere\,end\,hypotenusen!} \end{align*}$

Så I må have opstillet en forkert til løsning af problemet.

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. januar 2021 af AMelev

#2 $x=c-\sqrt{c^2-a^2} \Rightarrow x<0$ Her springer kæden af for mig. Hvor får du x < 0 fra?
$\sqrt{c^2-a^2} <c\Rightarrow x=c-\sqrt{c^2-a^2}\, {\color{Red} >}\, 0$

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. januar 2021 af ringstedLC

#2 rettelse: Sæt bare kæden på igen!

Løsning:

$\begin{align*} x &= c- \sqrt{c^2-a^2} \end{align*}$

Det må bare have været et øjebliks talblindhed, der førte til det sludder.

Svar #5
17. januar 2021 af Ukendtpige

#1 hvis jeg lægger x til på begge sider, vikke jeg jo bare få c-x+x=kvadratrod (c^2-a^) ? Og hvis jeg så trækker kvadratroden fra på begge sider, vil jeg jo bare få c-x+x-kvadratrod (c^2_a^)=0?

Synes ik rigtig jeg har forstået nogen af forklaringerne, og specielt det med at +- kan undlades, hvad mener i med det?

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. januar 2021 af ringstedLC

#5: Ikke 0, men x

Du skal gøre tingene i den rigtige rækkefølge og reducere færdigt.

$\begin{align*} c^2 &= a^2+(c-x)^2 \\ c^2\;{\color{Red} -\;a^2} &= a^2+(c-x)^2\;{\color{Red} -\;a^2} \\ \sqrt{c^2-a^2} &= \sqrt{(c-x)^2} \\ &= c-x \\ \sqrt{c^2-a^2}\;{\color{Red} +\;x} &= c-x\;{\color{Red} +\;x} \\ \sqrt{c^2-a^2}+x &= c \\ \sqrt{c^2-a^2}+x\;{\color{Red} -\;\sqrt{c^2-a^2}} &= c\;{\color{Red} -\;\sqrt{c^2-a^2}} \\ x &= c-\sqrt{c^2-a^2} \end{align*}$

Svar #7
17. januar 2021 af Ukendtpige

Nu forstår jeg! Mange tak!:)

Brugbart svar (0)

Svar #8
17. januar 2021 af ringstedLC

#5 og specielt det med at +- kan undlades, hvad mener i med det?

Generelt:

$\begin{align*} b=a^2\Rightarrow \sqrt{a^2} &= \pm \sqrt{b} \\ a &= \left\{\begin{matrix}+\sqrt{b}\\ -\sqrt{b} \end{matrix}\right. \;,\;\left\{\begin{matrix} \left (+\sqrt{b}\right )^{2}&=&1^2\cdot \left ( \sqrt{b}\right )^2\\ \left (-\sqrt{b}\right )^{2}&=&(-1)^2\cdot \left (\sqrt{b}\right )^2 \end{matrix}\right\}=b=a^2 \end{align*}$

I opgaven når man frem til:

$\begin{align*} c^2-a^2=(c-x)^2\Rightarrow \sqrt{c^2-a^2} &= \sqrt{(c-x)^2} \\ \sqrt{c^2-a^2} &= \left\{\begin{matrix}+(c-x) \\ -(c-x) \end{matrix}\right. \\ c>x&\Rightarrow\quad\, c-x\;>0\\&\Rightarrow -(c-x)<0 \\ -(c-x) \,\text{kan udelades, da}\, &\,\text{linjestykker har en pos. l\ae ngde} \\ \sqrt{c^2-a^2} &= c-x \\ \text{herefter forts\ae ttes}\! &\,\text{ som i \#6}\end{align*}$

Skriv et svar til: omskrivning af formel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.