Matematik

Andengradspolynomium find a og c

26. marts 2021 af klo102030 - Niveau: A-niveau

Opgaven lyder følgende: Grafen for f(x)=a*x^2+4*x+c har toppunkt i (-1,2) Bestem a og c.

Jeg har ikke rigtig gjort mig nogle overvejelser for at kunne løse denne opgave, men jeg har prøvet at bruge solve til at udregne det.

solve(0=a*x^2+4*x+c,c,a) Men det giver nogle udregninger, der ikke kan bruges..

Er der nogen der eventuelt kan give mig en lille leddetråd til at kunne løse denne opgave?

Svar #1
26. marts 2021 af klo102030

Kunne man eventuelt indsætte -1 på x-plads i funktionen? Men hvad skal man så gøre med 2-tallet.

Brugbart svar (0)

Svar #2
26. marts 2021 af janhaa

f (-1) = a - 4 + c = 2

f ' ( -1) = 0

f ' (x) = 2ax + 4

f '(-1) = -2a + 4 = 0

a = 2

og:

2-4+c = 2

c = 4

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. marts 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll}&& f(x)=ax^2+4x+c\\\\&& x_T=-1=\frac{-4}{2a}=\frac{-2}{a}\\\\&& a=\frac{-2}{-1}=2\\\\&& f(x)=2x^2+4x+c\\\\&& y_T=c-a\cdot \left ( x_T \right )^2=2\\\\&& c=2+2\cdot (-1)^2\\\\&& c=4\\\\\\&& f(x)=2x^2+4x+4 \end{array}$

Svar #4
26. marts 2021 af klo102030

Kan det virkelig passe der ikke er en lettere metode hvorpå man kan finde a og c end at løse opgaven med f '? eller v.h.a brøker?

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. marts 2021 af ringstedLC

#0: Du kommer ingen vegne ved at opstille én ligning med to ubekendte. Den kan som bekendt ikke løses for begge ubekendte.

#4: Se på opgaven; en eller anden parabel har et kendt toppunkt og b er oplyst. Du har både lært om toppunktformlen og om diff.-kvotienten af et 2. gradspolynomium for at bruge dem. Hvis du synes, at simple brøker er besværlige, så skal du ikke glæde dig alt for meget til 2.- og 3.G.

Brugbart svar (0)

Svar #6
27. marts 2021 af mathon

eller
$\small \small \begin{array}{lllll}\\&& ax^2+4x+c=a\cdot \left (x-\left ( \frac{-2}{a} \right ) \right )^2+\frac{a\cdot c-4}{a}\\\\&& x_T=\frac{-2}{a}=-1\\\\&& a=2\\\\\\&& y_T=2=\frac{2\cdot c-4}{2}=c-2\\\\&& 2=c-2\\\\&& c=4\\\\\\&& ax^2+4x+c=2x^2+4x+4 \end{array}$

Svar #7
27. marts 2021 af klo102030

Det er meget muligt, men vi er endnu ikke igang med at lære op at differentiere...

Brugbart svar (0)

Svar #8
27. marts 2021 af ringstedLC

Mærkeligt, men så må du bruge toppunktsformlen.

Svar #9
29. marts 2021 af klo102030

Det tænkte jeg også på at gøre men man kan vel ikke bruge den når man ikke kan finder diskriminanten, fordi man ikke kender a,b,c..

Brugbart svar (0)

Svar #10
29. marts 2021 af mathon

Den er brugt i #6

Svar #11
29. marts 2021 af klo102030

Brugbart svar (0)

Svar #12
29. marts 2021 af ringstedLC

#9: Jeg skulle måske have skrevet: ... noget af toppunktsformlen.

I #3 bestemmes a = 2:

$\begin{align*} f(x) &= 2x^2+4x+c \\ y_T=f(x_T)=f(-1)=2 &= 2\cdot (-1)^2+4\cdot (-1)+c \\ c &= 4 \end{align*}$

Svar #13
29. marts 2021 af klo102030

hmmm men hvordan kan du forklare at a=2, da man som udgangspunkt vil se a som x^2 som i dette tilfælde er 1.. og hvorfor indsætter du helt præcis (-1) på x-plads??? Tak for din tålmodighed.

Brugbart svar (1)

Svar #14
29. marts 2021 af ringstedLC

#13: Nej, a er kvotienten (en konstant faktor forskellig fra 0) til x².

(-1): Du har sikkert tidligere skulle bestemme et toppunkt udfra en forskrift og så brugt toppunktsformlen, - forlæns kunne man sige. Men her bruges den "baglæns" til at bestemme kvotienten a fordi vi kender x_T:

$\begin{align*} \text{Toppunkt}: (-1,2)=\bigl(x_T,y_T\bigr) &= \biggl(\,\frac{-b}{2a},\frac{-d}{4a}\,\biggr) \\ \Rightarrow x_T &= \frac{-b}{2a} \\ \Rightarrow -1 &= \frac{-4}{2a}\;,\;ax^2+4x+c\Rightarrow b=4 \\ a &= \;? \end{align*}$

Fortsættelsen kan du se i #3 som nævnt tidligere. Men du bliver skrappere ved selv at udregningen.

Svar #15
30. marts 2021 af klo102030

Tak for hjælpen jeg kigger lige lidt videre på det. Man kunne selfølgelig også bare prøve at indsætte nogle tal for toppunktsformel og måske finde svaret den vej. Jeg har prøvet at sætte funktionen ind i solve med toppunktet (-1,2), hvor jeg så kan aflæse c ved at se hvorhenne grafen skærer y-aksen. a er lidt sværer at aflæse, da det jo kun fortæller om grafen veder op af, eller ned af.

Skriv et svar til: Andengradspolynomium find a og c

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.