Monotoniforhold

Nu kan du få noget hjælp med en konkret funktion. Prøv at tegn følgende funktion, dens afledede (f') og dobbelte afledede (f''). Funktionen jeg giver dig er,

Brug evt. GeoGebra og bliv inspireret. Start først med f(x), kig godt på den og dernæst f'(x) og til sidst f''(x).

Ud fra den nye viden, prøv da at besvare dit spørgsmål, evt. ved udgangspunkt i mit eksempel. Og til sidst, sådan en funktion kan tegnes på særdeles mange måder! :)

Så med opgaven er det altså meningen, at man selv skal finde en 4. gradspolynomium at arbejde ud fra?

Med udgangspunkt i dit indlæg, så ja. Så skal du selv finde på en, men du kan også bare med fordel prøve at lave en tegning af et fjerdegradspolynomium. Dernæst tegne den afledede og dobbelte afledede. Jeg har lavet en hurtig skitse i paint. 

Jeg formoder opgaven er til en mundtlig eksamen/samtale? Du skal i hvert fald kunne demonstrere, at du kan tegne en sådan funktion samt dens afledede og dobbelte afledede.

Ja, det er et eksamensspørgsmål. Jeg har nu prøvet at tegne den funktion du skrev i GeoGebra sammen med f'(x) og f''(x), men det ser ikke ud som det du tegnede. Og jeg forstår stadigvæk ikke helt, hvordan jeg ud fra en funktion skal kunne tegne dens f(x)-, f'(x)- og f''(x)-værdi. Der står overhovedet ikke noget om det i min matematik bog, og kan ikke finde noget om det på internettet. 

1) Som jeg skrev i #1 "Og til sidst, sådan en funktion kan tegnes på særdeles mange måder! :)", så nej. Din skal ikke være den samme som min. Bare den har tre ekstremapunkter. 

2) Din tegning er korrekt.

3) Du kan evt. kigge på, hvordan f'(x) opfører sig, f.eks. de steder, hvor f(x) har ekstremapunkter. Se min GeoGebra tegning. 

4) Indtegner du f''(x) og ser hvor f''(x) skærer førsteaksen. Her vil du kunne se, hvordan grafen for f(x) "vender", heraf vendetangent. Prøv at læs: https://matematikbhhx.systime.dk/?id=201 og find eksempel "EKSEMEPEL 4.4.3. BESTEMMELSE AF VENDETANGENTENS RØRINGSPUNKT"

Men hvordan kan man ud fra funktionen vide, hvordan man skal tegne den i hånden?

Hvis du får angivet, at der skal være tre ekstremapunkter, så skal der være tre steder med maksimum/minimum. Du skal med andre ord bare tegne en graf med de tre ekstrema. Se mit eksempel nedenfor. Alle funktioner har tre ekstremapunkter.

#6: Denne f er noget nemmere at regne på. Beregn de tre ekstrema og rødderne af f. Det giver seks støttepunkter for grafen:

Den 2. afledede af f bliver en parabel, der ligeledes kan tegnes ved beregning af støttepunkter. Brug fx rødderne og toppunktet.