Matematik

Reduktion

28. oktober kl. 15:57 af gavs - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har en opgave, som ser sådan her ud:

Lad n=km, hvor k og m er naturlige tal, og m er ulige. Vis ved udregning, at der gælder:

(2^k+1)(2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-4k}+...+1)=(2^k^m+1)

Jeg har lavet denne her omskrivning, men er gået i stå undervejs:

(2^k+1)(2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-4k}+...+1)=(2^{km}-2^{km-k}+2^{km-2k}-2^{km-3k}+...+2^k)+(2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-4k}+...+1)=2^k^m+2^k-2^{km-4k}+1

Hvordan er det lige, jeg kommer videre herfra? Antallet af led i den anden parentes før første lighedstegn er jo m, men hvordan kan jeg bruge det, hvis jeg da kan bruge det her?


Brugbart svar (0)

Svar #1
28. oktober kl. 16:45 af peter lind

du har en skrivefejl elle hvad man nu skal kald detI den anden parates indeholder et -2k som går ud med de 2k. Ligeledes går de -2km-4k ud mod de 2km-4k i føste parantes


Svar #2
28. oktober kl. 17:20 af gavs

Nu spørger jeg nok dumt, men hvordan opstår -2^k, hvis jeg ganger parentesen med 1? Er det noget med, at man skal omskrive 1 eller? Jeg kan heller ikke lige se 2^(km-4k) to steder, som du påpeger?


Brugbart svar (0)

Svar #3
28. oktober kl. 17:27 af peter lind

Det næstsidste led er -2k


Svar #4
28. oktober kl. 17:35 af gavs

Mener du sådan her:

(2^k+1)(2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-4k}+...-2^{k}+1)

?


Brugbart svar (0)

Svar #5
28. oktober kl. 17:44 af peter lind

ja

Det  kaldes en teleskobisk sum.

Bortset fra det første led i den første sum og det sidste led i den anden anden sum er de ens bortset fra fortegnet, der er forskellige.


Svar #6
28. oktober kl. 17:59 af gavs

Hmm. Nu får jeg:

(2^{km}-2^{km-k}+2^{km-2k}-2^{km-3k}+...-2^{2k}+2^k)+(2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-4k}+...-2^k+1)=2^k^m-2^{km-4k}-2^2^k+1

Jeg kan ikke rigtig få 2^(km-4k) til at forsvinde.


Svar #7
28. oktober kl. 18:04 af gavs

Problemet er vist, at jeg ikke kan finde 2^(km-4k) to steder.


Svar #8
28. oktober kl. 18:19 af gavs

Er det fordi, at man siger, at m-4 er 2 efter sidste lighedstegn?


Brugbart svar (0)

Svar #9
28. oktober kl. 18:28 af peter lind

nej

Du skal bare skrive et led mere

skriv rækkerne op under hinanden sådan at ens potenser så samme potens står under hinanden

2km - 2km-k + 2km-2k - 2km-3k + 2km-4k - ....    -22k +2k

       +2km-k  - 2km-2k - 2km-3k + 2km-4k                   -2k +1


Svar #10
28. oktober kl. 18:55 af gavs

Mange tak for hjælpen.


Brugbart svar (0)

Svar #11
28. oktober kl. 19:32 af Soeffi

#0.

(2^k+1)(2^{km-k}-2^{km-2k}+2^{km-3k}-2^{km-4k}+...+1)=

\sum_{i=1}^{m}(2^k+1)((-1)^{i+1} \cdot 2^{km-i\cdot k})=

- 2^{km} \cdot (2^k+1) \cdot \sum_{i=1}^{m}\left (-2^{-k} \right )^i=

...geometrisk række...

2^{km} \cdot (2^k+1) \cdot \frac{1+2^{-km}}{2^k+1}=

1+2^{km}


Brugbart svar (0)

Svar #12
28. oktober kl. 20:18 af Soeffi

#11...

- 2^{km} \cdot (2^k+1) \cdot \sum_{i=1}^{m}\left (-2^{-k} \right )^i=

...geometrisk række...desuden benyttes, at m er ulige, så (-1)m+1 = 1...


Skriv et svar til: Reduktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.