Vektorer, Vinkler mellem linjer, Vejen til Matematik A2, Opgave 27, Side 44, ( Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Der er vedhæftede en fil af opgave 27

Det er ikke mulig på mit tastatur at skrive pilen over retningsvektoren r og normalvektoren n, den må man tænke sig til og helt præcis skrive retningsvektorene og normalvektoren i parentes som i bogen

Jeg viser først dem jeg har løst som er a) og b)

Det er c) og d) der er problemet:

Opgaven lyder bestem den spidse vinkel mellem de to linjer i følgende tilfælde ( se den vedhæftede fil):

a)   2x + 3y = 0 og -3x + 4y -8 = 0 ,  har henholdsvis normalvektoren

n₁ = (²₃) og n₂ = (^-3 4)

cos v = (²₃) • (^-3₄₎ / √ (2^2 +3^2) • √(-3)^2 + 4^2 = (-6 + 12) / (√13 • √ 25) = (6 / (5 • √13)

v = cos^-1 =( 6 / (5 • √13) = 70,55997⁰ = 70,56⁰   ( Som er bogens facit )

b)  -x +4y = 5 som omformes til -x + 4y -5 = 0 har normalvektoren n₁ = ( ^-1 ₄ )   og

   y = -2x +3 som omformes til 2x + y -3 = 0 har normalvektoren n₂ = (² ₁ )

cos v =  (^-1 ₄) • (² ₁) / √((-1)^2 + 4^2) • √ 2^2 +1^2 = (-2 +4) / (√17 • √5 ) = (2 / √17 • √5)

v = cos^-1 (2 / √17 • √5) =  77,47⁰ ( Som er bogens facit)

c)  -x + 4y = 5 omformes til -x + 4y -5 = 0 har normal vektoren n₁ = ( ^-1 4)

    (^x_y) = (² ₃) + t• ( ^-1 ₂)  har retningsvektoren r = ( ^-1 ₂)   ved at hatte retningsvektoren til

                                           normalvektoren n₂ = ( ^-2 _-1) 

Som indsættes i formlen: 

 cos v = (^-1 ₄ ) • (^-2 _-1 ) / √((-1)^2 + 4^2 )) • √((-2)^2 + (-1)^2 )) = (2 - 4) /( √17 • √ 5) = (-2 / √17 • √5)

v = cos^-1 (-2 /( √17 • √5)) = 102,53⁰ , denne vinkel er stump og ikke spids.

Er det  normalvektoren n₂ = ( -2 -1) der er forkert ? 

Hvis jeg i stedet for gør følgende :

Jeg har normalvektoren n₁ = ( ^-1 ₄ ) som  hattes til retningsvektor r₁ = ( ^-4 _-1 )  og jeg har

  retningsvektoren r₂  = ( ^-1 ₂ ) som indsættes i formlen får følgende 

cos v = ( ^-4 -1 ) • ( ^-1 2 ) /( √((-4)^2 +(-1)^2 )) • √((-1)^2 + 2^2))) = (4 - 2 ) /(√17 • √5)) = 77,47⁰

(som er bogens facit )

I Bogen side 27 står følgende: 

Vinkel mellem linjer 

Hvis to linjer l₁ og l₂ er givet ved hver sin parameterfremstilling,er det let at bestemme vinklen mellem dem.

Af parameterfremstillingerne kan man aflæse retningsvektorene r₁ og r₂  for de to linjer, og derefter kan man bestemme vinklen mellem dem ved formlen

cos v = r₁ • r₂ / | r₁ | • | r₂ |                                                 

d) 

( ^x _y ) = ( ^-1 ₂ ) +  t• ( ^-4 _-1 )    og   ( ^x _{y )} = ( ¹ ₇ ) + t • ( ³ ₁ ) 

Jeg har retningsvektorerne  r₁  = ( ^-4 _-1 )  og  r₂ = ( ³ ₁ ) som indsættes i formlen

cos v = ( ^-4 _-1 ) • ( ³ ₁ ) / (√((-4)^2 + (-1)^2 ) • (√ 3^2 +1^2 ) = (-12 -1 ) / (√17) • (√10) ) = (-13 / ( √17 • √10)

v = cos^-1 (-13 / √17 • √ 10) = 175,6⁰ (bogens facit er 4,40⁰ )

Hvad gør jeg forkert i c) og d)  ?

På forhånd tak