Implikation er sand hvis ...

Hvis p sand =|> sand vil det være en biimplikation og man skal ved implikationen kun slutte den ene vej. Du har sikkert fået en forklaring af både din lære og din bog som du ikke har forstet og som jeg ikke vil gengive her. Min erfaring er at mange ikke forstår det

#1

Jeg forstår ikke, hvordan det overhovedet svarer på mit spørgsmål? Jeg spørger om noget helt specifikt. Jeg har lært, at implikationen er kun falsk, hvis p er sand og q er falsk -- ellers er den sand. For mig, giver det mening, hvis både p og q er sande, eller hvis både p og q er falske. Spørgsmålet er så, HVORFOR implikationen vil være sand, hvis p er falsk og q er sand. Jeg kan ikke forstå, hvordan dette hænger sammen i vores dagligdag talesprog. Derfor ... er dette en definition, en konvention, eller hvad visdommen bag det?

For alle mængder M gælder:
  ∅ ⊆ M
da regner vi implikationen
  p(x) ⇒ q(x)
for sand, hvis p(x) ikke er sand for noget x.
Man kan læse implikationen som:
"Ethvert x, der tilhører sandhedsmængden for p(x) , tilhører sandhedsmængden for q(x) .
Bemærk generelt, at  p(x) ⇒ q(x) ikke siger noget om, hvorvidt p(x) er sand eller falsk.
Vi må ikke sige, da p(x) er .... så er q(x) ....  men hvis p(x) er .... så er q(x) ....  .
Bemærk i øvrigt analogien mellem mængde og udsagn:
Inklusionen A ⊆ B  er analog med udsagnet  p(A) ⇒ p(B)
og at  [p(x) ⇒ q(x)]  ⇔  [ikke-p(x) ∨ q(x)] .   

#3

Tak for dit input. For at bevise ∅ ⊆ M helt matematisk, skal man bevise, at (x ∈ ∅) ⇒ (x ∈ M). Her er x ∈ ∅ tydeligvis falsk. Men, igen, hvorfor konkluderer man så, at implikationen er sand?

Jeg formulerer mit originale spørgsmål: Hvis p er falsk og q er sand, er p ⇒ q defineret til at være sand? Hvis nej, hvad er så grundlaget for dette?

er defineret som

Så sandhestabellen er:

Lad os betragte implikationen med følgende sproglige eksempel for p medfører q:

Lad p være 'det regner' og q være 'fortovet er vådt'. Implikationen p medfører q ville så i en noget bagvendt formulering betyde:

'fortovet er vådt' fordi 'det regner'

Men et vådt fortov kan have mange årsager, for eksempel hvis nogen hælder vand ud over fortovsfliserne. Hvorimod tørre fortovsfliser altid udelukker, at det regner.

Måske er formuleringen p medfører q generelt lidt uheldigt, og burde mere beskrivende formuleres som: 'også p medfører q'.