Matematik

Epsilon-delta-grænseværdi

25. marts 2022 af migmigmig22 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Givet denne funktion:

$g(x)=\frac{sinh(x)}{e^x}$

Jeg skal bestemme grænseværdien for x gående mod uendelig og en afpareringsstrategi ud fra epsilon-delta-definitionen. Grænseværdien har jeg fået til at være 1/2. Jeg har forsøgt sådan her med afpareringsstrategien:

$|g(x)-1/2|=|\frac{sinh(x)}{e^x}-1/2|=|\frac{\frac{e^x-e^-^x}{2}}{e^x}-1/2|=|-\frac{1}{2e^2^x}|=|\frac{1}{2e^2^x}|=\frac{1}{2e^2^x}$

Hvis så jeg lader K være:

$K=\frac{ln(\frac{1}{2\varepsilon })}{2}$

Så giver det epsilon, hvis jeg indsætter det i udtrykket efter sidste lighedstegn. Dette må vel betyde, at hvis jeg vælger K som det netop viste, så vil $|g(x)-1/2|<\varepsilon$ for alle $x>K$ . Er jeg helt galt på den eller?

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. marts 2022 af Soeffi

#0. Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2039393 (en lignende opgave).

Svar #2
25. marts 2022 af migmigmig22 (Slettet)

Ok, jeg har kigget på det. Måske er det smartere at bruge uligheden $e^x>1+x$ for $x>0$ . Det giver vel, at:

$e^2^x>1+2x\Leftrightarrow 2e^2^x>2+4x\Leftrightarrow \frac{1}{2e^2^x}<\frac{1}{2+4x}$

Dette giver så:

$|g(x)-1/2|=\frac{1}{2e^2^x}<\frac{1}{2+4x}$

Så kan man udlede:

$\frac{1}{2+4K}=\varepsilon \Leftrightarrow K=\frac{1-2\varepsilon }{4\varepsilon }$

Siden afstanden bliver mindre, når x vokser, så gælder det vel, at:

$|g(x)-1/2|=\frac{1}{2e^2^x}<\varepsilon$

For $x>K$

Er det en rigtig måde at gøre det på eller?

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. marts 2022 af Soeffi

#2. Ja, noget i den retning.

Skriv et svar til: Epsilon-delta-grænseværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.