Fortætningspunkt

Hov. 1 og -1 er også fortætningspunkter for an ikke? Jeg kiggede på min definition igen og tænkte over, at afstanden mellem talfølgen og fortætningspunktet ikke behøver at være 0, men blot mindre end epsilon ...

Det er helt korrekt. 1 og -1 er fortætningspunkter.

#1    Både a_2n og a_2n+1 konvergerer, og deres grænseværdier er fortætningspunkter for a_n.

#3 Ja, det kan jeg se nu.

Jeg har forsøgt at bevise, at 1 og -1 er fortætningspunkter for talfølgen. Jeg har delt det op i to tilfælde.

For a=1 kan man vælge blot at kigge på de lige naturlige tal, for hvilke der gælder, at:

Givet et epsilon, så kan afstanden jf. Arkimedes princip altid gøres mindre end epsilon. Da uligheden gælder for de lige naturlige tal, så gælder den selvfølgelig også for alle de naturlige tal.

For a=-1 kan man på tilsvarende vis vælge blot at kigge på de ulige naturlige tal:

Og det er fuldstændig det samme som før, man kan sige om uligheden her. Er beviset stærkt nok?

#5 Jeg skal måske lige præcisere, at det faktum, at man altid kan gøre afstanden mindre end epsilon, er ensbetydende med, at der findes uendeligt mange n, for hvilke uligheden er opfyldt.

#5     Beviset er ikke korrekt, for det er ikke hvad definitionen for et fortæningspunkt siger. At punktet -1 er et fortæningspunkt for følgen a_n betyder: Til givet ethvert ε > 0, findes uendelig mange naturlige tal n, sådan at |a_n - a| < ε. De uendelige mange n'er er 1, 3, 5, 7, .... osv. Prøv at bevise det formelt. For det andet fortætningspunkt 1, er det 2, 4, 6, osv. i stedet for 1, 3, 5, 7, osv.

#7 Men er det ikke også det, jeg har vist? Altså 1/(2^n) kan man jo altid gøre vilkårligt lille ved at finde et stort nok n. Så må der vel være uendeligt mange n, for hvilke det gælder?

#8     Jeg forstår hvad du mener, men argumentet er ikke korrekt. Det du siger er, at hvis n vælges stort nok, så vil det betyde, at afstanden mellem a_n og a vil forblive mindre end ε fra et vist trin (dvs. for alle n ≥ N, for et N). Men, det skal ikke være for alle n ≥ N, men uendelig mange n ≥ N. Dette er forskellen. Udtrykket "uendelig mange n" peger på, at du skal kigge på en eller anden bestem delfølge af a_n. Hvis du har fundet en delfølge, som konvergerer mod a, kald denne følge b_n, så vil "|b_n - a| < ε for alle n ≥ N" ⇒ "|a_n - a| < ε for uendelig mange n ≥ N"

Lad mig derfor (om)formulere definitionen mere præcis: Et komplekst tal a kaldes et fortætningspunkt for en kompleks talfølge (a_n)_n∈N, hvis der for alle ε > 0, findes et N∈N og en strengt voksende funktion g:N → N sådan at |a_g(n) - a| < ε for alle n ≥ N.

Okay tak. Jeg har altså afgjort, at talfølgen er divergent og begrænset, og så siger Bolzano-Weierstrass, at der findes mindst én konvergent delfølge. Disse finder jeg ved at lave to strengt voksende talfølger af naturlige tal svarende til de lige og ulige:

Så kan jeg definere den første delfølge ved:

Denne konvergerer mod 1, hvilket jeg kan bevise sådan her. Lad epsilon > 0 være givet. Lad N opfylde:

For n større end eller lig med N gælder:

Derefter kan jeg konkludere, at fordi at en delfølge af an konvergerer mod a, så vil an have a som fortætningspunkt. Beviset for konvergens af den anden talfølge, kan jeg selvfølgelig lave på en lignende måde. Ser det korrekt nok ud?

Hvad betyder notationen {...}, når du definerer N? En mængde, eller? Hvorfor er 1/(2^2N) ≤ N? Hvordan kan N blive mindre, når ε bliver mindre?

Jeg mente max{}, men den løsning virker åbenbart slet ikke, så den smider jeg væk. Det gælder vel, at:

N er jo et naturligt tal, så holder det virkelig ikke? Så hvad hvis jeg vælger:

Så får jeg:

Mit argument fra før kan vel gøres stærkere ved:

Nu blander jeg vist det hele lidt sammen. Altså jeg mener, at det her gælder:

Så kan jeg opstille uligheden for n større end eller lig med N:

Så hvis det her holder, hvordan kan jeg så udtrykke N vha. epsilon?

Du skal sætte dig ind i definitionen for en konvergent talfølge. Derefter et fortætningspunkt for en talfølge. Hvad skal vi vide om en konvergent talfølge? Det er, at se om man kan gøre det muligt, at få afstanden mellem en talfølge og en værdi til at være så lille som muligt (Fx. der, hvor du skriver 1/4^N ≤ N giver slet ikke nogen mening, når afstanden SKAL gøres muligt at blive mindre og mindre). Vedr. fortætningspunkt, kan du genlæse i #9.

For at bevise, at 1 er en fortætningspunkt for (a_n), skal du tjekke om den har en delfølge som konvergerer mod 1. Her påstår du, at (a_{b_n}) konvergerer mod 1. Påstanden skal bevises. Først observeres der, at

|a_{b_n} - 1| = 1/4ⁿ

for alle n ≥ 1. So far, so good. Lad os nu fokusere på højresiden. Hvis vi kan gøre højresiden lille, gør venstresiden også det. Derfor, for hvert ε > 0, skal vi finde et N sådan at 1/4ⁿ < ε for alle n ≥ N. Lad ε > 0 være givet. Overbevis dig selv, at 1/4ⁿ ≤ 1/(4n) for alle n ≥ 1. Her kan af Arkimedes' princip slutte (overvej hvorfor), der findes et N sådan at 1/(4N) < ε. Derfor, for alle n ≥ N, har vi

|a_{b_n} - 1| = 1/4ⁿ ≤ 1/(4n) ≤ 1/(4N) < ε.

 That's it :)