Matematik

Vektorrum og underrum

30. maj 2022 af Stats - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg kigger på en sætning som siger:

Lad $\mathbb{F}$ være et legeme, lad (V, +, ·) være et $\mathbb{F}$ -vektorrum, og lad V ' ⊂ V være en delmængde, sådan at følgende gælder

1. Nulvektoren 0 ∈ V tilhører V ' ⊂ V
2. x,y ∈ V ' ⊂ V, så er også x + y ∈ V ' ⊂ V
3. x ∈ V ' ⊂ V og a ∈ $\mathbb{F}$ , så er også x · a ∈ V '⊂ V

Lad afbildningen +' : V ' × V ' → V ' og ·' : V ' × $\mathbb{F}$ → V ' være defineret ved henholdsvis x +' y = x + y og x ·' a = x · a, dvs. med sum og skalarmultiplikation fra V. Da er også (V ', +', ·' ) et $\mathbb{F}$ -vektorrum.

Nu står jeg og tænker lidt.

1. Hvis jeg vil undersøge om $\mathbb{Q}^2$ er et underrum af $\mathbb{R}^2$ , og jeg siger at $\mathbb{R}^2$ er et $\mathbb{R}$ -vektorrum, så er $\mathbb{Q}^2$ ikke et underrum?

2. Hvis jeg omvendt siger at $\mathbb{R}^2$ er et $\mathbb{Q}$ -vektorrum, så opfylder $\mathbb{Q}^2$ at være et underrum for $\mathbb{R}^2$ ?

Er dette korrekt?
(Lidt genopfriskning har man jo aldrig taget skade af)

Svar #1
30. maj 2022 af Stats

Beklager hvis jeg ikke var tydelig nok.

Lad (R², +, ·) være et højre R-vektorrum med afbildningen + : R² × R² → R² og · : R² × R → R² givet ved sædvanlig vektorsum og skalarmultiplikation.

Triplen (Q², +, ·) kan ifølge sætningen ovenfor ikke udgøre et højre R-vektorrum.

Hvis vi udstyre mængden R² med en struktur af et højre Q-vektorrum, så vil triplen (Q², +, ·) være et Q-vektorrum.

Korrekt?

- - -

Mvh Dennis Svensson

Skriv et svar til: Vektorrum og underrum

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.