Matematik

Fourierrækken for f konvergerer Konvergerer punktvis mod f

15. juni 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP,

Jeg har to forskellige sætninger som beskriver hhv. punktvis konvergens og uniform konvergens:

1. Lad $f \in PCN_{2\pi}$ . Hvis f er differentiabel både fra venstre og højre i $x_0$ , så er Fourierrækken for f konvergent i $x_0$ med sumfunktionen $f(x_0)$

2. Når $f \in PCN_{2\pi}$ er stykkevis C1, så konvergerer Fourierrækken for f uniformt mod f overalt på R.

Bemærk at alle funktioner er $PC_{2\pi}$ og skal først normaliseres.

Spørgsmålet lyder:

1) For hvilke funktioner giver sætning 1 at Fourierrækken for f konvergerer punktvis mod f i hele R?

$f_1_{PC_{2\pi}}=\sqrt{(|x|)}, x\in [-\pi,\pi) \\ \\ f_1_{PCN_{2\pi}}(x)=\left\{\begin{matrix} & \sqrt{(|x|)}, \: x \in (-\pi,0)\\ & \sqrt{(|x|)}, \: x\in [0,\pi)\\ & \frac{\sqrt{\pi}}{2}, \: x=\pi \end{matrix}\right.$

Er denne normaliseret korrekt? og denne må da også være differentiabel fra højre og venstre, hvilket medfører punktvis konvergens(?).

Dernæst har jeg

$f_3_{PC_{2\pi}}(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x} & x\in [-\pi,0)\\ 0& x\in (0,\pi) \end{matrix}\right. \\ \\ \\ f_3_{PCN_{2\pi}}(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x} & x\in [-\pi,0) \\ 0& x\in (0,\pi)\\ \frac{1}{2}& x=0\\ \frac{e^{-x}}{2}& x=\pi \end{matrix}\right.$

Er denne korrekt normaliseret? og denne må også være punktvis konvergent, da den er differentiabel i (-pi,0) og (0,pi)?

Har jeg fat i den lange ende?

Skriv et svar til: Fourierrækken for f konvergerer Konvergerer punktvis mod f

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.