Matematik

bevis for tangent

17. juni 2022 af roskildegym1 - Niveau: A-niveau

hej

jeg skal op til mundttig matematik eksamen og, skal kunne bevise en ellipses tangent. jeg har fundet et bevis men er meget i tvivl om hvordan de kommer til denne normalvekor hved at ved at isolere cos(t) og sin(t) i parameterfremstillingen. altså punkt 3.

jeg har vedhæftet et billede :)

håber meget at der er en som kan hjælpe

Vedhæftet fil: bevis ellipsens tangent.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. juni 2022 af oppenede

Tværvektoren til v(t) er n = (-b cos(t), -a sin(t))

Da x₀ = a·cos(t), gælder cos(t) = x₀/a

Dvs. førstekoordinaten for n kan skrives som -b*x₀/a

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. juni 2022 af peter lind

se https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2050863

Svar #3
17. juni 2022 af roskildegym1

mange tak for hjælpen

Brugbart svar (0)

Svar #4
17. juni 2022 af mathon

Her hjælper det meget,
hvis man husker en
ret linjes ligning gennem $\small \left ( x_o,y_o \right )$
med normalvektor $\overrightarrow{n}=\bigl(\begin{smallmatrix} a\\b \end{smallmatrix}\bigr)$
som
$\small \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-x_o\\ y-y_o \end{pmatrix}=0$

$\small \small a\cdot \left ( x-x_o \right )+b\cdot (y-y_o)=0$

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. juni 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll}\; \; \; \; \; \textup{ligning}\; \; \; \; \; \; \; \; \textup{parameterfremstilling}\; \; \; \; \; \textup{en normalvektor}\\ \begin{array}{|c|c|c|}\hline \frac{x^2}{a^2}+\frac{y}{b^2}=1\; &\; \; \; \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\; \begin{pmatrix} a\cdot \cos(t)\\ b\cdot \sin(t) \end{pmatrix}&\begin{pmatrix} b\cdot \cos(t)\\ a\cdot \sin(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{b}{a}x\\ \frac{a}{b}y \end{pmatrix}\\\hline \end{array}\\\\\textup{Tangentligning i }\left ( x_o,y_o \right )\textup{:}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix} \frac{b}{a}x_o\\\frac{a}{b} y_o \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-x_o\\y-y_o \end{pmatrix}=0 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
01. juli 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} \textup{dvs}\\&& \frac{b}{a}x_ox-\frac{b}{a}{x_o}^2+\frac{a}{b}y_oy-\frac{a}{b}{y_o}^2=0\\\\&& \frac{b}{a}x_ox+\frac{a}{b}y_oy=\frac{b}{a}{x_o}^2+\frac{a}{b}{y_o}^2\\& \textup{divideres med }ab\\&& \large \frac{x_ox}{a^2}+\frac{y_oy}{b^2}=\frac{{x_o}^2}{a^2}+\frac{{y_o}^2}{b^2}\\\\&&\frac{x_ox}{a^2}+\frac{y_oy}{b^2}=1 \end{array}$

Skriv et svar til: bevis for tangent

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.