Matematik

Billedmålet (Lebesgue)

22. september kl. 17:06 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hey SP,

Jeg har følgende opgave:

Lad \lambda være lebesguemålet på R, og lad u(x)=|x|. Betragt billedmålet \mu=\lambda \: o \: u^{-1}.

Bestem \mu([0,a]).

Jeg tænker at jeg skal først bestemme u^{-1}(x)=\sqrt(x)^2, og ifølge \mu=\lambda \: o \: u^{-1} må \mu([a,b])=\lambda(u^-1([a,b]))=\lambda(\sqrt([a,b]^2)).

Men jeg har Ingen idé hvordan jeg skal kunne løse en kvadratrod af et interval??

Jeg må ha gjort noget forkert?

Nogle idéer?


Brugbart svar (0)

Svar #1
22. september kl. 19:15 af jl9

Er a>0 ?


Svar #2
22. september kl. 19:42 af louisesørensen2

Jep.


Brugbart svar (0)

Svar #3
22. september kl. 21:48 af norm

Urbilledet af [0,a] er [-a,a]


Svar #4
22. september kl. 22:03 af louisesørensen2

Det har jeg fundet ud af, men jeg kan simpelhen ikke forstå hvordan.

Har prøvet at tegne u([0,a])=|[0,a]|, men jeg forstår ikke hvordan u^{-1}([0,a])=[-a,a]

Kan du uddybe eller evt tegne grafen?


Brugbart svar (0)

Svar #5
22. september kl. 22:11 af norm

Du kan tegne grafen for u(x)=|x| sådan her i Maple:

plot(abs(x),x=-10..10)

Det er jo egentlig bare en funktion, som tager absolutværdien af alle de tal, du kommer ind. Når du finder urbilledet af en mængde, som et interval jo er, så er urbilledet jo også et interval af alle de værdier, du skal køre gennem funktionen for at få billedet. Heldigvis er funktionen målelig, så du er faktisk i stand til at måle urbilledet, da det jo ligger i Borel-sigma-algebraen.


Svar #6
22. september kl. 22:16 af louisesørensen2

Det er jeg enig i, og det forstår jeg. Men jeg forstår ikke hvordan u^{-1}([0,a]) kan blive til [-a,a].

Er det fordi u^{-1}([0,a])=\sqrt{a^2}=+-a?


Svar #7
22. september kl. 22:21 af louisesørensen2

Selve teorien er jeg fortrolig med. Men det er blot mere, hvordan jeg skal forstå hvordan den inverse absolutfunktion fungerer på en interval.


Brugbart svar (0)

Svar #8
22. september kl. 22:57 af jl9

#6

\sqrt {x^2}, er det u(x) eller u^{-1}(u(x)) ?


Svar #9
22. september kl. 22:59 af louisesørensen2

Hvis u(x):=|x| \Rightarrow u^{-1}(x)=\sqrt{x^2}. Er du enig?


Brugbart svar (0)

Svar #10
22. september kl. 23:02 af jl9

Det kommer an på hvordan \left | \cdot \right | er defineret


Svar #11
22. september kl. 23:11 af louisesørensen2

Nu er jeg forvirret. Der står i opgaven u(x):=|x|


Skriv et svar til: Billedmålet (Lebesgue)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.