Matematik

Billedmålet (Lebesgue)

22. september 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hey SP,

Jeg har følgende opgave:

Lad $\lambda$ være lebesguemålet på R, og lad $u(x)=|x|$ . Betragt billedmålet $\mu=\lambda \: o \: u^{-1}$ .

Bestem $\mu([0,a])$ .

Jeg tænker at jeg skal først bestemme $u^{-1}(x)=\sqrt(x)^2$ , og ifølge $\mu=\lambda \: o \: u^{-1}$ må $\mu([a,b])=\lambda(u^-1([a,b]))=\lambda(\sqrt([a,b]^2))$ .

Men jeg har Ingen idé hvordan jeg skal kunne løse en kvadratrod af et interval??

Jeg må ha gjort noget forkert?

Nogle idéer?

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. september 2022 af jl9

Er a>0 ?

Svar #2
22. september 2022 af louisesørensen2

Jep.

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. september 2022 af norm (Slettet)

Urbilledet af [0,a] er [-a,a]

Svar #4
22. september 2022 af louisesørensen2

Det har jeg fundet ud af, men jeg kan simpelhen ikke forstå hvordan.

Har prøvet at tegne $u([0,a])=|[0,a]|$ , men jeg forstår ikke hvordan $u^{-1}([0,a])=[-a,a]$ .

Kan du uddybe eller evt tegne grafen?

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. september 2022 af norm (Slettet)

Du kan tegne grafen for u(x)=|x| sådan her i Maple:

plot(abs(x),x=-10..10)

Det er jo egentlig bare en funktion, som tager absolutværdien af alle de tal, du kommer ind. Når du finder urbilledet af en mængde, som et interval jo er, så er urbilledet jo også et interval af alle de værdier, du skal køre gennem funktionen for at få billedet. Heldigvis er funktionen målelig, så du er faktisk i stand til at måle urbilledet, da det jo ligger i Borel-sigma-algebraen.

Svar #6
22. september 2022 af louisesørensen2

Det er jeg enig i, og det forstår jeg. Men jeg forstår ikke hvordan $u^{-1}([0,a])$ kan blive til $[-a,a]$ .

Er det fordi $u^{-1}([0,a])=\sqrt{a^2}=+-a?$

Svar #7
22. september 2022 af louisesørensen2

Selve teorien er jeg fortrolig med. Men det er blot mere, hvordan jeg skal forstå hvordan den inverse absolutfunktion fungerer på en interval.

Brugbart svar (0)

Svar #8
22. september 2022 af jl9

$\sqrt {x^2}$ , er det $u(x)$ eller $u^{-1}(u(x))$ ?

Svar #9
22. september 2022 af louisesørensen2

Hvis $u(x):=|x| \Rightarrow u^{-1}(x)=\sqrt{x^2}$ . Er du enig?

Brugbart svar (0)

Svar #10
22. september 2022 af jl9

Det kommer an på hvordan $\left | \cdot \right |$ er defineret

Svar #11
22. september 2022 af louisesørensen2

Nu er jeg forvirret. Der står i opgaven $u(x):=|x|$

Skriv et svar til: Billedmålet (Lebesgue)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.