Matematik

løsning til differentialligningen y'-y=x

14. november 2022 af Guleroden1 - Niveau: A-niveau

Hvordan løser jeg denne? Har prøvet med subsitutionsmetoden, men kan simpelhten ikke

komme frem til det korrekte svar

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2022-11-14 kl. 10.41.09.png

Svar #1
14. november 2022 af Guleroden1

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. november 2022 af Soeffi

#0. Indsætter billede.

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. november 2022 af PeterValberg

Prøv lige at se, om der ikke er lidt hjælp at hente på denne videoliste < LINK >

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #4
14. november 2022 af Soeffi

#0. Find først den fuldstændige løsning til y' - y = 0 (homogen ligning) og find derefter en løsning til differential-ligningen y' - y = x på formen y = ax + b. Læg til sidst de to løsninger sammen.

Brugbart svar (2)

Svar #5
14. november 2022 af Soeffi

#4. Homogen løsning:

$y'-y=0 \Leftrightarrow \frac{dy}{dx}-y=0\Leftrightarrow \frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=1\Leftrightarrow \frac{1}{y}\cdot dy=dx\Leftrightarrow \int \frac{1}{y}\cdot dy=\int dx\Leftrightarrow$

$ln(|y|)=x+k\Leftrightarrow |y|=e^{x+k}\Leftrightarrow \mathbf{{\color{Red} y=K\cdot e^{x}}},\;K\in \mathbb{R}$

Inhomogen løsning (gættemetode):

$y'-y=x \;\wedge \; y = a\cdot x+b\Leftrightarrow (a\cdot x+b)'-(a\cdot x+b)=x \Leftrightarrow$

$a-a\cdot x-b=1\cdot x \Leftrightarrow (a-b)-a\cdot x=1\cdot x \Leftrightarrow (a-b)=0\;\wedge -a=1 \Leftrightarrow$

$a=b\;\wedge a=-1 \Leftrightarrow a=-1\;\wedge b=-1 \Rightarrow {\color{Red} \textbf{y=-x-1}}$

Disse lægges sammen:

$\mathbf{{\color{Red} y=K\cdot e^{x}-x-1}},\;K\in \mathbb{R}$

Svar #6
14. november 2022 af Guleroden1

#5
#4. Homogen løsning:

$y'-y=0 \Leftrightarrow \frac{dy}{dx}-y=0\Leftrightarrow \frac{1}{y}\cdot \frac{dy}{dx}=1\Leftrightarrow \frac{1}{y}\cdot dy=dx\Leftrightarrow \int \frac{1}{y}\cdot dy=\int dx\Leftrightarrow$

$ln(|y|)=x+k\Leftrightarrow |y|=e^{x+k}\Leftrightarrow \mathbf{{\color{Red} y=K\cdot e^{x}}},\;K\in \mathbb{R}$

Inhomogen løsning (gættemetode):

$y'-y=x \;\wedge \; y = a\cdot x+b\Leftrightarrow (a\cdot x+b)'-(a\cdot x+b)=x \Leftrightarrow$

$a-a\cdot x-b=1\cdot x \Leftrightarrow (a-b)-a\cdot x=1\cdot x \Leftrightarrow (a-b)=0\;\wedge -a=1 \Leftrightarrow$

$a=b\;\wedge a=-1 \Leftrightarrow a=-1\;\wedge b=-1 \Rightarrow {\color{Red} \textbf{y=-x-1}}$

Disse lægges sammen:

$\mathbf{{\color{Red} y=K\cdot e^{x}-x-1}},\;K\in \mathbb{R}$

Hvorfor bruger du ikke panserformlen?

Brugbart svar (1)

Svar #7
14. november 2022 af Soeffi

#6...Hvorfor bruger du ikke panserformlen?

Den kan jeg ikke udenad.

Svar #8
15. november 2022 af Guleroden1

#7 vi har kun lært om panserformlen, men tak for hjælpen ellers:)

Brugbart svar (1)

Svar #9
15. november 2022 af mathon

Brug panserformlen kombineret med delvis integration:

$\small \small \small \begin{array}{lllllll} y=&e^x\cdot \int e^{-x}\cdot x\,\mathrm {d}x=\\\\ &e^x\cdot\left ( -e^{-x}\cdot x-\int -e^{-x}\cdot 1 \right )\,\mathrm {d}x=\\\\& e^x\cdot\left ( x\cdot \left ( -e^{-x} \right )-e^{-x}+C \right )=\\\\y=& C\cdot e^{x}-x-1\qquad C\in \mathbb{R} \end{array}$

Skriv et svar til: løsning til differentialligningen y'-y=x

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.