Matematik

Potensrækker

22. november 2022 af Pedersem - Niveau: Universitet/Videregående

Betragt funktionen

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^n

Angiv den anden afledede af f i 0

f^{(2)}(0)=\frac{1}{?}

Svaret '?' er et helt tal mellem 0 og 99


Brugbart svar (1)

Svar #1
22. november 2022 af Soeffi

#0. Benyt evt. omskrivningen:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \cdot \left ( \sqrt{x} \right ) ^{2n}=cos(\sqrt{x})


Brugbart svar (1)

Svar #2
22. november 2022 af Soeffi

#1. Måske bedre: 

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^n=x^0-\frac{1}{2}x+\frac{1}{24}x^2-...

f''(x)=\left ( x^0-\frac{1}{2}x^1+\frac{1}{24}x^2-\frac{1}{720}x^3+... \right )''=\frac{1}{12}x^0-\frac{1}{120}x^1+...

f(0)=\frac{1}{12}\cdot 0^0-\frac{1}{120}\cdot 0^1+...=\frac{1}{12}

Bemærk: 00 antages at være = 1?


Svar #3
23. november 2022 af Pedersem

Mange tak.

Ved du hvordan man kan berenge det her: 

\lim_{x \to 0} F^{(3)}(x)=


Brugbart svar (1)

Svar #4
23. november 2022 af Soeffi

#2...Rettelse:

f''(0)=\frac{1}{12}\cdot 0^0-\frac{1}{120}\cdot 0^1+...=\frac{1}{12}


Brugbart svar (1)

Svar #5
23. november 2022 af Soeffi

#3...Ved du hvordan man kan beregne det her: 

\lim_{x \to 0} F^{(3)}(x)=

Hvis du mener f(x) fra før, så: 

\lim_{x \to 0} f^{(3)}(x)=\lim_{x \to 0} \left ( \frac{1}{0!}x^0-\frac{1}{2!}x^1+\frac{1}{4!}x^2-\frac{1}{6!}x^3+ \frac{1}{8!}x^4... \right )'''=

\lim_{x \to 0} \left ( -3!\cdot \frac{1}{6!}+ 4\cdot 3\cdot 2\cdot \frac{1}{8!}x^1... \right )=- \frac{1}{120}


Svar #6
23. november 2022 af Pedersem

F er vel stamfunktion til f Så er det her ik rigtigt

F^{(3)}(0)=f^{(2)}(0)=f^{''}(0)=\frac{1}{12}

fra #4


Svar #7
23. november 2022 af Pedersem

For øvrigt hvordan gør det her:

Find Taylorrækken med udviklingspunkt 0 for f. 

f(x)=\frac{1-x^2}{1+x^2}


Brugbart svar (1)

Svar #8
23. november 2022 af Soeffi

#7. I følge Wolfram Alpha:

Series expansion at x = 0:

1 - 2 x^2 + 2 x^4 - 2 x^6 + 2 x^8 - 2 x^10 + 2 x^12 + O(x^13)

(Taylor series) (converges when abs(x)<1)


Svar #9
23. november 2022 af Pedersem

Men hvad vil et generelt udtryk for den serie være?


Brugbart svar (1)

Svar #10
23. november 2022 af Soeffi

#9. Du mener med sumtegn?

1 - 2 x^2 + 2 x^4 - 2 x^6 +...=1+2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot x^{2n}


Svar #11
23. november 2022 af Pedersem

Rækken er jo egentlig

\frac{1}{0!}x^0+\frac{0}{1!}x^1+\frac{-4}{2!}x^2+\frac{0}{3!}x^3+\frac{48}{4!}x^4...

=1+0-x^2+0-2x^4+0 ...

hvordan kan det beskrives med et generelt udtryk?


Brugbart svar (0)

Svar #12
24. november 2022 af Soeffi

#11...

\frac{1}{0!}x^0+\frac{0}{1!}x^1+\frac{-4}{2!}x^2+\frac{0}{3!}x^3+\frac{48}{4!}x^4...

=1+0-2x^2+0+2x^4+0... =1-2x^2+2x^4...

Det er det samme.


Skriv et svar til: Potensrækker

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.