Matematik

Potensrækker

22. november kl. 10:34 af Hjælpmig356 - Niveau: Universitet/Videregående

Betragt funktionen

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^n

Angiv den anden afledede af f i 0

f^{(2)}(0)=\frac{1}{?}

Svaret '?' er et helt tal mellem 0 og 99


Brugbart svar (1)

Svar #1
22. november kl. 11:48 af Soeffi

#0. Benyt evt. omskrivningen:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \cdot \left ( \sqrt{x} \right ) ^{2n}=cos(\sqrt{x})


Brugbart svar (1)

Svar #2
22. november kl. 16:44 af Soeffi

#1. Måske bedre: 

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^n=x^0-\frac{1}{2}x+\frac{1}{24}x^2-...

f''(x)=\left ( x^0-\frac{1}{2}x^1+\frac{1}{24}x^2-\frac{1}{720}x^3+... \right )''=\frac{1}{12}x^0-\frac{1}{120}x^1+...

f(0)=\frac{1}{12}\cdot 0^0-\frac{1}{120}\cdot 0^1+...=\frac{1}{12}

Bemærk: 00 antages at være = 1?


Svar #3
23. november kl. 12:33 af Hjælpmig356

Mange tak.

Ved du hvordan man kan berenge det her: 

\lim_{x \to 0} F^{(3)}(x)=


Brugbart svar (1)

Svar #4
23. november kl. 13:29 af Soeffi

#2...Rettelse:

f''(0)=\frac{1}{12}\cdot 0^0-\frac{1}{120}\cdot 0^1+...=\frac{1}{12}


Brugbart svar (1)

Svar #5
23. november kl. 14:00 af Soeffi

#3...Ved du hvordan man kan beregne det her: 

\lim_{x \to 0} F^{(3)}(x)=

Hvis du mener f(x) fra før, så: 

\lim_{x \to 0} f^{(3)}(x)=\lim_{x \to 0} \left ( \frac{1}{0!}x^0-\frac{1}{2!}x^1+\frac{1}{4!}x^2-\frac{1}{6!}x^3+ \frac{1}{8!}x^4... \right )'''=

\lim_{x \to 0} \left ( -3!\cdot \frac{1}{6!}+ 4\cdot 3\cdot 2\cdot \frac{1}{8!}x^1... \right )=- \frac{1}{120}


Svar #6
23. november kl. 14:51 af Hjælpmig356

F er vel stamfunktion til f Så er det her ik rigtigt

F^{(3)}(0)=f^{(2)}(0)=f^{''}(0)=\frac{1}{12}

fra #4


Svar #7
23. november kl. 14:54 af Hjælpmig356

For øvrigt hvordan gør det her:

Find Taylorrækken med udviklingspunkt 0 for f. 

f(x)=\frac{1-x^2}{1+x^2}


Brugbart svar (1)

Svar #8
23. november kl. 16:55 af Soeffi

#7. I følge Wolfram Alpha:

Series expansion at x = 0:

1 - 2 x^2 + 2 x^4 - 2 x^6 + 2 x^8 - 2 x^10 + 2 x^12 + O(x^13)

(Taylor series) (converges when abs(x)<1)


Svar #9
23. november kl. 17:59 af Hjælpmig356

Men hvad vil et generelt udtryk for den serie være?


Brugbart svar (1)

Svar #10
23. november kl. 18:18 af Soeffi

#9. Du mener med sumtegn?

1 - 2 x^2 + 2 x^4 - 2 x^6 +...=1+2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot x^{2n}


Svar #11
23. november kl. 21:52 af Hjælpmig356

Rækken er jo egentlig

\frac{1}{0!}x^0+\frac{0}{1!}x^1+\frac{-4}{2!}x^2+\frac{0}{3!}x^3+\frac{48}{4!}x^4...

=1+0-x^2+0-2x^4+0 ...

hvordan kan det beskrives med et generelt udtryk?


Brugbart svar (0)

Svar #12
24. november kl. 20:49 af Soeffi

#11...

\frac{1}{0!}x^0+\frac{0}{1!}x^1+\frac{-4}{2!}x^2+\frac{0}{3!}x^3+\frac{48}{4!}x^4...

=1+0-2x^2+0+2x^4+0... =1-2x^2+2x^4...

Det er det samme.


Skriv et svar til: Potensrækker

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.