Hvordan får jeg denne funktion over på formen for en ellipse? - kvadratisk programmering

Hej,

En andengradsfunktion i to variable er angivet ved

f(x,y) = Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F,   x,y ∈ R. 

Af funktionen

DB = 2x² + 18x - y² + 8y, kan vi aflæse at

A ≠ C, men at A og C har forskellige fortegn.

Idet der frembringes ellipser, når andengradskoefficienterne er forskellige tal, men har samme fortegn, kan vi redegøre for, at det keglesnit der fremkommer af funktionen, når funktionsværdien er sat lig med nul ikke er en ellipse. 

Når A og C har forskellige fortegn som det ses her, er det keglesnit der frembringes når funktionsværdien er nul en hyperbel :))

Vi kan også godt omskrive ligningen til normalformen for en hyperbel ved kvadratkomplettering.

(2x² + 18x) + (- y² + 8y) = 0 ⇔

2(x² + 9x) - (y² - 8y) = 0 ⇔

2((x + 9/2)² - 20,25) - ((y + 4)² - 16) = 0 ⇔

2(x + 9/2)² - 40,5 - (y + 4)² + 16 = 0 ⇔

2(x + 9/2)² - (y + 4)² = 40,5 - 16 = 24,5 ⇔

((x + 9/2)² / 12,25) - ((y + 4)² / 24,5) = 1 

Jeg undskylder, at jeg bliver nødt til at angive det i decimaltal og at det står lidt uoverskueligt, men jeg havde ikke lige mulighed for at skrive det som brøker her.

#0. Svar i Geogebra:

Niveaukurverne er hyperbelgrene.

Mange tak for jeres svar. :-)

Hvordan kan det være at det bliver en ellipse når jeg indtegner funktionen i geogebra?

Og hvordan kan det være jeg skal sætte funktionen lig 0? Skal den ikke sættes lig et tilfældigt niveu, t?

Jeg har vedhæftet opgaven, så kan det være at det er nemmere at se hvad jeg mener.

#4 

Selv tak! Ups, kan se at jeg har lavet en fejl i #2, grundet en fortegnsfejl i tredje linje. Ligningen angivet på normalform er derfor

((x + 9/2)² / 12,25) - ((y - 4)² / 24,5) = 1. 

Det var egentlig ret så dårligt formuleret i #1. Man plejer vist normalt at sætte funktionsværdien lig med nul for gøre det nemt.

Så vidt jeg ved har du ret i, at man finder kurven med et tilfældigt niveau t ved at sætte funktionsværdien lig med en given værdi af t, idet man finder niveaukurverne for en funktion af to variable, ved at sætte funktionsværdien lig med en tilfældig konstant :-)

Når funktionen sættes lig med en vilkårlig konstant svarer det blot til, at man ændrer på konstantleddet. Hvis vi sammenligner ligningen med en andengradsligning i to variable angivet ved

f(x,y) = Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F,   x,y ∈ R,

så svarer det til, at vi ændrer på konstanten F.

Håber på, at der nok er en anden herinde, der kan forklare det lidt bedre end jeg kan her :)

#2

Vi kan også godt omskrive ligningen til normalformen for en hyperbel ved kvadratkomplettering.

(2x² + 18x) + (- y² + 8y) = 0 ⇔

2(x² + 9x) - (y² - 8y) = 0 ⇔

2((x + 9/2)² - 20,25) - ((y + 4)² - 16) = 0 ⇔

2(x + 9/2)² - 40,5 - (y + 4)² + 16 = 0 ⇔

2(x + 9/2)² - (y + 4)² = 40,5 - 16 = 24,5 ⇔

((x + 9/2)² / 12,25) - ((y + 4)² / 24,5) = 1            

Jeg undskylder, at jeg bliver nødt til at angive det i decimaltal og at det står lidt uoverskueligt, men jeg havde ikke lige mulighed for at skrive det som brøker her.