Matematik

løsning til differentialligningen y''=-k^2 * y

02. december 2022 af emilie2x - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg er i gang med en opgave, hvor jeg skal redegøre for at f(x)=sin(k*x) og f(x)=cos(k*x) er løsning til differentialligningen y'' = -k^2 * y

Jeg har ingen ide om hvordan man gør og hvorfor det er sådan. Nogen der kan hjælpe:))?

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. december 2022 af mathon

Differentier de sammensatte funktioner

$\small f(x)=\sin(k\cdot x)\quad \textup{og}\quad f(x)=\cos\left ( k\cdot x \right )$

to gange.

Brugbart svar (1)

Svar #2
02. december 2022 af mathon

$\small \begin{array}{llllllll} f(x)=y=\sin(k\cdot x)\\\\ f{\, }'(x)=y{\, }'=k\cdot \cos(k\cdot x)\\\\ f{\, }''(x)=y{\, }''=k\cdot k\cdot \left ( -\sin(k\cdot x) \right )=-k^2\cdot \sin(k\cdot x)&=&-k^2\cdot y\\\\\\\\ f(x)=y=\cos(k\cdot x)\\\\ f{\, }'(x)=y{\, }'=k\cdot \left ( -\sin(k\cdot x) \right )=-k\cdot \sin(k\cdot x)\\\\ f{\, }''(x)=y{\, }''=-k\cdot k\cos(k\cdot x)&=&-k^2\cdot y \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. december 2022 af mathon

Den fuldstændige løsning
til differentialligningen
      $\small y{\, }''=-k^2\cdot y$
er derfor en
linearkombination
af de to partikulære
løsninger:
$\small y=C_1\cdot \cos(k\cdot x)+C_2\cdot \sin(k\cdot x)$

Kontrol:
      $\small \begin{array}{lllllll} y{\, }'=&\left (C_1\cdot \cos(k\cdot x)+C_2\cdot \sin(k\cdot x) \right ){}'=\\\\& -C_1\cdot k\cdot \sin(k\cdot x)+C_2\cdot k\cdot \cos(k\cdot x)\\\\\\ y{\, }''=&\left (-C_1\cdot k\cdot \sin(k\cdot x)+C_2\cdot k\cdot \cos(k\cdot x) \right ){}'=\\\\& -C_1\cdot k^2\cdot \cos(k\cdot x)-C_2\cdot k^2\cdot \sin(k\cdot x)=\\\\& -k^2\cdot \left (C_1\cdot \cos\left ( k\cdot x \right )+C_2\cdot \sin(k\cdot x) \right )=\\\\\\& -k^2\cdot y \end{array}$

Skriv et svar til: løsning til differentialligningen y''=-k^2 * y

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.