Matematik

Polynomiumsregression

05. februar 2023 af stix1 - Niveau: B-niveau

Hej guys.

Givet punkterne (-2,15), (-1,6) og (3,10).

Benyt kvadratisk regression (QuadReg) til at bestemme det 2.gradspolynomium, f(x) = ax^2 + bx + c, der bedst tilnærmer punkterne.

Resultatet er: a = 2, b = -3 og c = 1

Hvad er løsningsmetoden?

Tak på forhånd


Brugbart svar (0)

Svar #1
05. februar 2023 af ringstedLC

Lav kvadratisk (2. grads) regress. med din CAS.


Svar #2
05. februar 2023 af stix1

#1

Lav kvadratisk (2. grads) regress. med din CAS.

Hvordan skriver vi ligningerne? 

Jeg mener, Hvordan fandt vi ud af, at a = 2, b = -3 og c = 1.

Tak.


Brugbart svar (1)

Svar #3
05. februar 2023 af ringstedLC

Opgaven forlanger regression, - du kender vel til regress. med CAS.

Men den kan løses med tre ligninger med tre ubekendte:

\begin{align*} \left.\begin{matrix} 15&=a\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+c \\ 6&=a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c \\ 10&=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c\qquad\quad\,\end{matrix}\right\}= \left\{\begin{matrix} 15&=4a-2b+c \\ 6&=a-b+c\quad \\ 10&=9a+3b+c \end{matrix}\right. \end{align*}


Svar #4
05. februar 2023 af stix1

#3

Opgaven forlanger regression, - du kender vel til regress. med CAS.

Men den kan løses med tre ligninger med tre ubekendte:

\begin{align*} \left.\begin{matrix} 15&=a\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+c \\ 6&=a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c \\ 10&=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c\qquad\quad\,\end{matrix}\right\}= \left\{\begin{matrix} 15&=4a-2b+c \\ 6&=a-b+c\quad \\ 10&=9a+3b+c \end{matrix}\right. \end{align*}

Tak for din indsats, og jeg sætter stor pris på din hjælp.
Min forespørgsel handler om metoden, jeg forstår ikke hvorfor a = 2, b = -3 og c = 1.

Når alt kommer til alt, hvordan får vi værdierne af a, b og c?

Hvordan løser jeg den opgave eller en lignende opgave uden hjælpemidler?
Endnu en gang tak for hjælpen.


Brugbart svar (1)

Svar #5
05. februar 2023 af Eksperimentalfysikeren

Kvadratisk regression går ud på at finde nogle konstanter, her a, b oc, i et funktionsudtryk således, at summen af kvadraterne af afstandene mellem de målte y-værdier og de beregnede værdier bliver mindst mulig. Altså:

d = \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - f(x_{i}))^{2}

skal minimeres.

Ved den værdi, hvor d er mindst, er dens aflede med henyn til hver af konstanterne nul:

\\\frac{\partial d}{\partial a}=0\\ \frac{\partial d}{\partial b}=0\\ \frac{\partial d}{\partial c}=0\\

Regn de afledede ud. Så har du tre ligninger med tre ubekendte. Dem løser du. Så skulle du gerne have samme løsning som i #3.

Det er lidt at skyde gråspurve med kanoner at gøre det på denne måde, når der er samme antal punkter som konstanter. Gevindsten får man, når det er flere punkter end konstanter.


Brugbart svar (1)

Svar #6
05. februar 2023 af AskTheAfghan

Hvilket CAS-værktøj bruger du? Hvis du bruger GeoGebra, kan du skrive i inputlinjen:

     \verb| m = {(-2, 15), (-1, 6), (3, 10)}|

så tryk Enter-tasten. Bagefter skriver du:

     \verb|FitPoly(m,2)|

så tryk Enter-tasten. Resultatet vil vise:

f(x) = 2x2 - 3x + 1.

Herfra kan koefficienterne aflæses. Man kan gøre det på en anden måde med GeoGebra via. Regneark.

Edit: Nu har jeg læst trådene igennem. Det du spørger om, er ikke B-niveau. Du kan prøve se, hvor ideen kommer fra via. https://muthu.co/maths-behind-polynomial-regression/.


Svar #7
05. februar 2023 af stix1

#5

Kvadratisk regression går ud på at finde nogle konstanter, her a, b oc, i et funktionsudtryk således, at summen af kvadraterne af afstandene mellem de målte y-værdier og de beregnede værdier bliver mindst mulig. Altså:

d = \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - f(x_{i}))^{2}

skal minimeres.

Ved den værdi, hvor d er mindst, er dens aflede med henyn til hver af konstanterne nul:

\\\frac{\partial d}{\partial a}=0\\ \frac{\partial d}{\partial b}=0\\ \frac{\partial d}{\partial c}=0\\

Regn de afledede ud. Så har du tre ligninger med tre ubekendte. Dem løser du. Så skulle du gerne have samme løsning som i #3.

Det er lidt at skyde gråspurve med kanoner at gøre det på denne måde, når der er samme antal punkter som konstanter. Gevindsten får man, når det er flere punkter end konstanter.

Tusind tak.


Svar #8
05. februar 2023 af stix1

#6

Hvilket CAS-værktøj bruger du? Hvis du bruger GeoGebra, kan du skrive i inputlinjen:

     \verb| m = {(-2, 15), (-1, 6), (3, 10)}|

så tryk Enter-tasten. Bagefter skriver du:

     \verb|FitPoly(m,2)|

så tryk Enter-tasten. Resultatet vil vise:

f(x) = 2x2 - 3x + 1.

Herfra kan koefficienterne aflæses. Man kan gøre det på en anden måde med GeoGebra via. Regneark.

Edit: Nu har jeg læst trådene igennem. Det du spørger om, er ikke B-niveau. Du kan prøve se, hvor ideen kommer fra via. https://muthu.co/maths-behind-polynomial-regression/.

Jeg bruger Wordmat og GeoGebra.

Tusind tak.


Brugbart svar (1)

Svar #9
05. februar 2023 af AskTheAfghan

Hvis du også vil vide hvordan man gør vha. WordMat:

Gå ind på Word → Vælg WordMat øverst → Klik på "Vis Graf" → Vælg "Excel".

Indsæt koordinaterne på de første to søjler i Excel. Klik derefter på "Regression" → Vælg "Polynomisk" og "Orden" skal være 2.

Det vil se sådan her ud:


Skriv et svar til: Polynomiumsregression

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.