Matematik

Differentialligninger

10. marts 2023 af tlilhgcn13116 - Niveau: A-niveau

Hej alle sammen

Er der nogen som kan hjælpe med at løse opgaven i hånden?

tak på forhånd :)

Vedhæftet fil: 10.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
10. marts 2023 af CooperForce

a) Jeg ville gøre prøve. Altså se om $f(x)=10+k\cdot e^{-0,2x}$ differentieret passer til differentialligningen

b) Du ved at y-værdien er 0 og at x-værdien er 8. Indsæt disse i $f(x)=10+k\cdot e^{-0,2x}$ og isoler for k. Brug dette k til at skrive den partikulære løsning, som går gennem (0;8).

c) Du skal her anvende tangentenslinging, hvilken værdi er det du mangler? Udregn denne og indsæt i formlen.

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. marts 2023 af Emma593 (Slettet)

Slettet

Brugbart svar (1)

Svar #3
10. marts 2023 af CooperForce

Hvis vi sætter x = 0 i f(x), så får vi ikke f(0) = 8, så der findes ikke nogen løsning, der går igennem punktet (0;8).

Dette er forkert:

$\begin{align*} 8 &=10+k\cdot e^{-0,2\cdot0}\\ 8 &=10 +k \cdot e^0 \\ 8 &= 10+k \cdot 1\\ 8 &=10+k\\ k &=8-10\\ k &= -2 \end{align*}$

Så hvis jeg indsætter $k=-2$ i $f(x)$ , så får jeg forskriften til den løsning der går gennem (0;8)

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. marts 2023 af ringstedLC

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. marts 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} f(x)=y &= 10+k\cdot e^{-0.2x} \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} &= -0.2\,k\cdot e^{-0.2x} \\ &= -0.2\cdot \left (10+k\cdot e^{-0.2x}-10\right ) \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} &= -0.2\cdot \left (y-10\right )=-0.2y+2 \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. marts 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} y &= f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0) \\ &= \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\,(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0) \\ &= \Bigl(-0.2\cdot \bigl(10+k\cdot e^{-0.2\,\cdot\, x_0}\bigr)+2\Bigr)\cdot (x-x_0)+8 \\ y &= (...) \end{align*}$

Svar #7
11. marts 2023 af tlilhgcn13116

#5
a)

$\begin{align*} f(x)=y &= 10+k\cdot e^{-0.2x} \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} &= -0.2\,k\cdot e^{-0.2x} \\ &= -0.2\cdot \left (10+k\cdot e^{-0.2x}-10\right ) \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} &= -0.2\cdot \left (y-10\right )=-0.2y+2 \end{align*}$

Vil du forklar mig hvad du gjort i step 2 og 3

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. marts 2023 af ringstedLC

Husk at:

$\begin{align*} \textup{"step 2"}&: f'(x)&&=y' = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \\\\ \textup{"step 3"}&: -0.2\,k\cdot e^{-0.2x} &&= -0.2\,k\cdot e^{-0.2x}-50+50 \\ &&&= -0.2\cdot \bigl(10+k\cdot e^{-0.2x}-10\bigr)\end{align*}$

Svar #9
16. marts 2023 af tlilhgcn13116

#6
c) jeg forstår ikke helt hvordan du vil løse den.. vil du forklare hvad man skal?

Brugbart svar (0)

Svar #10
16. marts 2023 af ringstedLC

c) Tangentens ligning i et punkt kan bestemmes uden at løse diff.-ligningen:

$\begin{align*}\textup{Tangent i }(0,8): y &= \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\cdot (x-x_0)+f(x_0) \\ y &= (-0.2\cdot 8+2)\cdot x+8 \end{align*}$

Skriv et svar til: Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.