Matematik

Logistisk differentialligning

19. april 2023 af Silvia77 - Niveau: A-niveau

Hej, jeg har brug for hjælp med den her opgave:

En logistisk vækst kan som nævnt beskrives ved ved differentialligningen:

$\frac{dN}{dt} = N \; r \; \left(1 - \frac{N}{M} \right)$

Hvis vi ser på $\frac{dN}{dt}$ som en funktion af N, påstod vi tidligere, at maksimumsstedet for væksthastigheden er ved $N = \frac{1}{2} \; M$ .

Dette skal du nu argumentere for på to forskellige måder.

1. Omskriv først differentialligningen til et andengradspolynomium, der angiver væksthastigheden som funktion af N. Brug din viden om andengradspolynomiet til at vise, at væksthastigheden er størst ved $N = \frac{1}{2} \; M$

2. Vis ved hjælp af differentialregning, at maksimum for væksthastigheden ligger ved $N = \frac{1}{2} \; M$ . Du får bl.a. brug for den dobbeltafledede, altså N''(t).

Og.... jeg er helt væk med den. Er der nogen der kan hlælpe mig? Pleeeeease

Brugbart svar (1)

Svar #1
19. april 2023 af mathon

Måske kender du den logistiske differentialligning bedre
på formen
$\small \begin{array}{llllll}&& \frac{\mathrm{d}N }{\mathrm{d} t}=a\cdot N\cdot \left ( M-N \right ) \end{array}$
sættes heri
M uden for en parentes
haves:
$\small \begin{array}{llllll}&& \frac{\mathrm{d}N }{\mathrm{d} t}=\left (a\cdot M \right )\cdot N\cdot \left ( 1-\frac{N}{M} \right )\\\\&& \frac{\mathrm{d}N }{\mathrm{d} t}=r\cdot N\cdot \left ( 1-\frac{N}{M} \right ) \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
19. april 2023 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll}\textbf{1.}\\&\textup{som er identisk med}\\&\textup{andengradsligningen }\\&& \frac{\mathrm{d}N }{\mathrm{d} t}=-\frac{r}{M}N^2+rN\\&\textup{som har maksimum}\\&\textup{for}\\&&N=\frac{-r}{2\cdot \left ( -\frac{r}{M} \right )}=\frac{\left ( -r \right )\cdot M}{\left ( -r \right )\cdot 2}=\frac{M}{2} \end{array}$

Svar #3
19. april 2023 af Silvia77

Yeah, jeg bliver mega forvirret når formler ser anderledes ud. Ok, jeg godt forstår del 1. Del 2 er jeg ikke helt sikkert at jeg forstår det, men måske er bare at mit hjerne er lidt i stå lidt nu XDDD

Tusind tak mathon

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. april 2023 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll}\textbf{2.}\\&\textup{maksimal v\ae ksthastighed}\\&\textup{kr\ae ver:}\\&& \frac{\mathrm{d}^2N }{\mathrm{d} t^2}=N{\, }''(t)=0\\\\&& N{\, }''(t)=\left (rN\cdot \left ( 1-\frac{1}{M} N\right ) \right ){}'=0\qquad r>0\\\\&& r\cdot \left ( 1-\frac{N}{M} \right )+rN\cdot \left ( 0-\frac{1}{M} \right )=0\qquad \textup{(produktreglen)}\\\\&& r\left ( 1-\frac{N}{M}-\frac{N}{M} \right )=0\\\\&& r\cdot \left ( 1-2\frac{N}{M} \right )=0\\\\&& 1-\frac{2}{M}N=0\\\\&& \frac{2}{M}N=1\\\\&& N=\frac{M}{2} \end{array}$

Skriv et svar til: Logistisk differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.