Matematik

Faktorisering

08. maj 2023 af hhxelev1 - Niveau: B-niveau

Nogen der kan hjælpe mig?

Faktorisering

1. Når c-led mangler og nulreglen

2. Vha. polynomiets rødder eller dobbeltrod

Brugbart svar (1)

Svar #1
08. maj 2023 af MentorMath

Hej:)

Hvis vi har givet en andengradsligning på formen ax² + bx + c = 0, hvor tallet c er lig med nul, c = 0, så kan udtrykket omskrives til en form, hvor vi kan bruge nulreglen.

Vi omskriver udtrykket ved, at x sættes uden for en parentes (vi siger, at x er en fælles faktor).

Når vi omskriver en andengradsligning til en form hvor vi kan bruge nulreglen siger vi, at udtrykket faktoriseres.

c = 0:

ax² + bx = 0 ⇔ (x sættes uden for en parentes)

x(ax + b) = 0 ⇔ (nulreglen, a·b = 0 ⇔ a = 0 eller b = 0).

x = 0 eller ax + b = 0

x = -b/a.

Når en andengradsligning er skrevet på formen x(ax + b) = 0, siger vi at ligningen er angivet på en faktoriseret form.

Faktorisering af andengradspolynomium med rødderne r₁ og r₂:

f(x) = a·(x-r₁)·(x-r₂).

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. maj 2023 af mathon

Faktorisering

1. Når c-led mangler og nulreglen

$\small \begin{array}{lllllll}& y=ax^2+bx=a\cdot x\cdot \left (x+\frac{b}{a} \right )\\\textup{nulregel:}\\& 0=a\cdot x\cdot \left (x+\frac{b}{a} \right )\\\\& x=\left\{\begin{matrix} 0\\-\frac{b}{a} \end{matrix}\right. \end{array}$

Svar #3
08. maj 2023 af hhxelev1

#1
Hej:)

1.

Hvis vi har givet en andengradsligning på formen ax² + bx + c = 0, hvor tallet c er lig med nul, c = 0, så kan udtrykket omskrives til en form, hvor vi kan bruge nulreglen.

Vi omskriver udtrykket ved, at x sættes uden for en parentes (vi siger, at x er en fælles faktor).

Når vi omskriver en andengradsligning til en form hvor vi kan bruge nulreglen siger vi, at udtrykket faktoriseres.

c = 0:

ax² + bx = 0 ⇔ (x sættes uden for en parentes)

x(ax + b) = 0 ⇔ (nulreglen, a·b = 0 ⇔ a = 0 eller b = 0).

x = 0 eller ax + b = 0

x = -b/a.

Når en andengradsligning er skrevet på formen x(ax + b) = 0, siger vi at ligningen er angivet på en faktoriseret form.

2.

Faktorisering af andengradspolynomium med rødderne r₁ og r₂:

f(x) = a·(x-r₁)·(x-r₂).

Kan du forklare 2. lidt mere dybdegående?
:)

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. maj 2023 af AMelev

$r_1=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}\: \: \textup{og}\: \: r_1=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}$
1) $r_1+r_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{-2b}{2a}= \frac{-b}{a}$
2) $r_1+r_2=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}\, \cdot \, \frac{-b+\sqrt{d}}{2a}= \frac{(-b)^2-(\sqrt{d})^2}{(2a)^2}=\frac{b^2-d}{4a^2}= \frac{b^2-(b^2-4a\cdot c)}{4a^2}=$ $\frac{c}{a}$

$a\cdot (x-r_1)\cdot (x-r_2)=$
$a\cdot (x^2-(r_1+r_2)\cdot x+r_1\cdot r_2)=$
$a\cdot (x^2-(\frac{-b}{a})\cdot x+\frac{c}{a})=$
$a\cdot x^2+b\cdot x+c$

Bem. Ud fra 1) og 2) kan man finde "pæne" rødder til 2. gradspolynomier med a = 1, idet så r₁ + r₂ = -b og r₁ · r₂ = c
Eks. $x^2-2x-3=0$
$r_1\cdot r_2=-3$ , dvs. (r₁,r₂) kunne være (-3,1) eller (-1,3)
$r_1+r_2=2$ , så -1 og 3 er rødder

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. maj 2023 af MentorMath

Hej igen

Jeg kan se, at @AMelev allerede har givet et godt og uddybene svar på spørgsmålet:)

I forhold til det, som er forklaret i #4, kan du eventuelt se forelæsningen: https://www.youtube.com/watch?v=VnqHCeMPZg8&t=6661s&ab_channel=JimLarsenMcLean, ved 2:07:00 inde i videoen.

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. maj 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textbf{faktorisering:}\\\\&& ax^2+bx+c\qquad a\neq 0\\\\&&a\left ( x^2+\left ( \frac{b}{a}\right )x+\frac{c}{a} \right )\\\\&&\frac{b}{a}=-\left ( r_1+r_2 \right )\qquad \frac{c}{a}=r_1\cdot r_2\\\\&& a\cdot \left ( x^2-\left ( r_1+r_2 \right )x+r_1\cdot r_2 \right )\\\\&& a\cdot \left ( x^2-r_1x-r_2x+r_1\cdot r_2 \right )\\\\&& a\cdot \left ( \left (x-r_1 \right )x-\left (x-r_1 \right )r_2 \right )\\\\&& a\cdot \left ( x-r_1 \right )\cdot \left ( x-r_2 \right ) \end{array}$

Skriv et svar til: Faktorisering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.