Matematik

bevis for monotonisætningen

12. maj 2023 af larasen - Niveau: A-niveau

Hej allesammen, er der nogen herinde der kan måske hjælpe mig med at forstå beviset for monotonisætningen, jeg har set at der bruges middelværdisætningen som en redskab til beviset, men forstår ikke hvorfor den er relevent at bruge i beviset?

Tak på forhånd

Brugbart svar (1)

Svar #1
12. maj 2023 af M2023

#0. Prøv at se https://www.youtube.com/watch?v=sJM0EWZLEN0.

Brugbart svar (1)

Svar #2
13. maj 2023 af M2023

#0. Monotonisætningen siger: Lad f være kontinuert i det lukkede interval [a;b] og differentiabel i ]a;b[. Da gælder
1) f er voksende i intervallet I ⇔ f'(x) > 0 for alle x ∈ ]a;b[
2) f er konstant i intervallet I ⇔ f'(x) = 0 for alle x ∈ ]a;b[
3) f er aftagende i intervallet I ⇔ f'(x) < 0 for alle x ∈ ]a;b[
Man behøver kun at vise den første, de andre følger enten umiddelbart eller er trivielle.

Definitionen på at f er voksende er, at

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0$

hvor x₁ < x₂ og x₁, x₂ ∈ [a;b]. Definitionen på at f´(x) > 0 er, at

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}>0$

Middelværdisætningen siger, at for en funktion, f, der er kontinuert på et lukket inteval [a:b] og differentiabel på ]a:b[ gælder, at der eksisterer et c ∈ ]a:b[ således, at

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$

Man beviser nu: f er voksende i ]a;b[ ⇒ f'(x) > 0 dvs. man starter med at bevise medførertegn mod højre. Her behøver man ikke middelværdisætningen. Man får

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0 \Rightarrow \lim_{x_2 \rightarrow x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0\Leftrightarrow f'(x_1)>0$

...idet det først ses, at grænseværdien for noget positivt også er positiv. Resten følger pr definiion.

Da x₁ kan være et hvilket som helst tal i intervallet ]a:b[ så gælder det for alle x ∈ ]a:b[.

Dvs. vi har bevist, at hvis f er voksende i et interval, så er den afledede af f positiv i samme interval.

Man beviser derefter: f'(x) > 0 for alle x ∈ ]a;b[ ⇒ f er voksende i ]a;b[ dvs. medførertegn mod venstre. Her bruger man middelværdisætningen.

Det forudsættes alså at f'(x) > 0 for alle x ∈ ]a:b[. Man får for et vilkårligt delinterval [x₁;x₂] af ]a;b[, at der eksisterer et c således, at

$f'(c)= \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
Da
$f'(x)>0\;for\;alle\;x\in \;]a;b[,\;s\overset{\circ }{a} \; er \;f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0$

Dermed er f voksende i intervallet ]a;b[. Dermed er medførertegn bevist i begge retninger i monotonisætningen og dermed er hele sætningen bevist.

Brugbart svar (1)

Svar #3
14. maj 2023 af M2023

#2. Hvis du kommer op i det til eksamen, kan du selv tilføje grafer for at forklare monotoni og middelværdisætningen.

Svar #4
14. maj 2023 af larasen

mange tak for hjælpen:)

Skriv et svar til: bevis for monotonisætningen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.